Sea $n \geq 1$ un entero, y sean $x_0, x_1, \ldots, x_{n+1}$ números reales no negativos que satisfacen $x_ix_{i+1} - x_{i-1}^2 \geq 1$ para todo $i = 1, 2, \ldots, n$. Demuestra que \[ x_0 + x_1 + \cdots + x_{n-1} + x_{n+1} > (\frac{2n}{3})^{\frac{3}{2}}. \]

Sea $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos), y sea $m \geq 2$ un entero. Supongamos que existen subconjuntos no vacíos $B_1, B_2, \ldots, B_m$ de $A$ cuyos elementos suman $m^1, m^2, m^3, \ldots, m^m$ respectivamente. Demuestra que $A$ contiene al menos $\frac{m}{2}$ elementos.

Sea $n \geq 2$ un entero, y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos tales que $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1$. Demuestra que \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{1-a_k} \left(a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1}\right)^2 < \frac{1}{3}. \]

Demuestra que para todos los números reales $x_1, \ldots, x_n$, se cumple la siguiente desigualdad: \[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i - x_j|} \leq \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i + x_j|}. \]

Dado un entero positivo $n$, encuentra el valor más pequeño de \[ \lfloor \frac{a_1}{1}\rfloor + \lfloor\frac{a_2}{2}\rfloor + \cdots + \lfloor\frac{a_n}{n} \rfloor \] sobre todas las permutaciones $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de $1, 2, \ldots, n$.

Para cada entero $n \geq 1$, considera la tabla $n \times n$ con la entrada $\lfloor \frac{ij}{n+ 1} \rfloor$ en la intersección de la fila $i$ y la columna $j$, para $i = 1, \ldots, n$ y $j = 1, \ldots, n$. Encuentra todos los enteros $n \geq 1$ para los cuales la suma de las $n^2$ entradas en la tabla es igual a $\frac{1}{4}n^2(n - 1)$.

Sea $n$ un número entero y $A$ un subconjunto de $\{0, 1, 2, 3, \ldots, 5^n\}$ que consiste en $4n + 2$ números. Demuestra que existen $a$, $b$, $c \in A$ tales que $a < b < c$ y $c + 2a > 3b$.

Sea $\Omega(n)$ el numero de factores primos de $n$, contando multiplicidad. Calcula $$\sum_{n=1}^{1989} (-1)^{\Omega(n)}\lfloor \frac{1989}{n}\rfloor.$$

Demuestra que para todo entero positivo $n$ se tiene $$\mu(n)=\sum_{1\leq k\leq n; \text{gcd}(k,n)=1}\text{cos}(\frac{2\pi k}{n}).$$

Demuestra que para todo entero $n\geq 1$ se tiene $$\sum_{d\mid n}\tau(d)^3=(\sum_{d\mid n}\tau(d))^2.$$