Olimpiada China del Norte 2016 Problema 9
Sean $a_1,a_2,\cdots,a_n$ números reales positivos, $a_1+a_2+\cdots,a_n=1$ . Demostrar que $$\sum_{m=1}^n\frac{a_m}{\prod\limits_{k=1}^m(1+a_k)}\leq1-\frac{1}{2^n}.$$
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Olimpiada China del Norte 2016 Problema 8
Sea $A=\{1,2,\cdots,n\}$ . Si existen conjuntos no vacíos $B,C$ , tales que $B\cap C=\varnothing,B\cup C=A$ . La suma de los cuadrados de todos los elementos en $B$ es $M$ , La suma de los cuadrados de todos los elementos en $C$ es $N$ , $M-N=2016$ . Encontrar el valor mínimo de $n$ .
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Olimpiada China del Norte 2016 Problema 7
Definir la secuencia $(a_n):a_n=2^n+3^n+6^n+1(n\in\mathbb{Z}_+)$ . ¿Existen enteros $k\geq2$ , que satisfacen que $\gcd(k,a_i)=1$ para todo $k\in\mathbb{Z}_+$ ? Si es así, encontrar el $k$ más pequeño. Si no, demostrar esto.
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Olimpiada China del Norte 2016 Problema 6
Cuatro puntos $B,E,A,F$ se encuentran en la línea $AB$ en orden, cuatro puntos $C,G,D,H$ se encuentran en la línea $CD$ en orden, satisfaciendo: $$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FB}=\frac{DG}{GC}=\frac{DH}{HC}=\frac{AD}{BC}.$$ Demostrar que $FH\perp EG$ .
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Olimpiada China del Norte 2016 Problema 5
Sea $\theta_{i}\in(0,\frac{\pi}{2})(i=1,2,\cdots,n)$ . Demostrar: $$(\sum_{i=1}^n\tan\theta_{i})(\sum_{i=1}^n\cot\theta_{i})\geq(\sum_{i=1}^n\sin\theta_{i})^2+(\sum_{i=1}^n\cos\theta_{i})^2.$$
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Olimpiada China del Norte 2016 Problema 4
¿Podemos colocar los enteros $1,2,\cdots,12$ en un círculo, numerarlos $a_1,a_2,\cdots,a_{12}$ en orden? Para cualquier $1\leq i<j\leq12$ , $|a_i-a_j|\neq|i-j|$ ?
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Olimpiada China del Norte 2016 Problema 3
Demostrar: (a) Hay infinitos enteros positivos $n$ , que satisfacen: $$\gcd(n,[\sqrt2n])=1.$$ (b) Hay infinitos enteros positivos $n$ , que satisfacen: $$\gcd(n,[\sqrt2n])>1.$$
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Olimpiada China del Norte 2016 Problema 2
En el triángulo isósceles $ABC$ , $\angle CAB=\angle CBA=\alpha$ , los puntos $P,Q$ están en diferentes lados de la línea $AB$ , y $\angle CAP=\angle ABQ=\beta,\angle CBP=\angle BAQ=\gamma$ . Demostrar que $P,C,Q$ son colineales.
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Olimpiada China del Norte 2016 Problema 1
Sean $a_1,a_2,\cdots,a_n$ números reales positivos, $a_1+a_2+\cdots,a_n=1$ . Demostrar que $$\sum_{m=1}^n\frac{a_m}{\prod\limits_{k=1}^m(1+a_k)}\leq1-\frac{1}{2^n}.$$
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Olimpiada Nacional China 1995 Problema 6
Sea $n(n>1)$ un número impar. Definimos $x_k=(x^{(k)}_1,x^{(k)}_2,\cdots ,x^{(k)}_n)$ como sigue: $x_0=(x^{(0)}_1,x^{(0)}_2,\cdots ,x^{(0)}_n)=(1,0,\cdots ,0,1)$ ; $ x^{(k)}_i =\begin{cases}0, \quad x^{(k-1)}_i=x^{(k-1)}_{i+1},\\ 1, \quad x^{(k-1)}_i\not= x^{(k-1)}_{i+1},\end{cases} $ $i=1,2,\cdots ,n$ , donde $x^{(k-1)}_{n+1}= x^{(k-1)}_1$ . Sea $m$ un entero positivo que satisface $x_0=x_m$ . Pruebe que $m$ es divisible por $n$.
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