Suponga que dos pirámides regulares con la misma base $ABC$: $P-ABC$ y $Q-ABC$ están circunscritas por la misma esfera. Si el ángulo formado por una de las caras laterales y la base de la pirámide $P-ABC$ es $\frac{\pi}{4}$, encuentre el valor de la tangente del ángulo formado por una de las caras laterales y la base de la pirámide $Q-ABC$.

Sea $F$ el foco de la parábola $y^2=2px(p>0)$, con directriz $l$ y dos puntos $A,B$ sobre ella. Sabiendo que $\angle AFB=\frac{\pi}{3}$, encuentre el valor máximo de $\frac{|MN|}{|AB|}$, donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es la proyección de $M$ a $l$.

Suponga que $x,y,z\in [0,1]$. Encuentre el valor máximo de la expresión \[\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}.\]

En $\triangle ABC$, los lados correspondientes a los ángulos $A,B,C$ son $a,b,c$ respectivamente. Si $a\cos B-b\cos A=\frac{3}{5}c$, encuentre el valor de $\frac{\tan A}{\tan B}$.

Sea $P$ un punto en la gráfica de la función $y=x+\frac{2}{x}(x>0)$. $PA,PB$ son perpendiculares a la línea $y=x$ y $x=0$, respectivamente, siendo $A$ y $B$ los pies de las perpendiculares. Encuentre el valor de $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$.

Cada lado de un polígono convexo de $2019$ - gon está teñido con rojo, amarillo y azul, y hay exactamente $673$ lados de cada tipo de color. Demuestra que existe al menos una forma de dibujar $2016$ diagonales para dividir el polígono convexo de $2019$ - gon en $2017$ triángulos, tal que dos cualesquiera de las $2016$ diagonales no tienen intersección dentro del polígono de $2019$ - gon, y para cualquier triángulo en todos los $2017$ triángulos, los colores de los tres lados del triángulo son todos iguales, o totalmente diferentes.

Los puntos $A,B,C,D,E$ se encuentran en una línea en este orden, tal que $BC=CD=\sqrt{AB\cdot DE},$ $P$ no se encuentra en la línea, y satisface que $PB=PD.$ Los puntos $K,L$ se encuentran en el segmento $PB,PD,$ respectivamente, tal que $KC$ biseca $\angle BKE,$ y $LC$ biseca $\angle ALD.$ Demuestra que $A,K,L,E$ son concíclicos.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que: $(1)$ $n$ tiene al menos $4$ divisores positivos. $(2)$ si todos los divisores positivos de $n$ son $d_1,d_2,\cdots ,d_k,$ entonces $d_2-d_1,d_3-d_2,\cdots ,d_k-d_{k-1}$ forman una secuencia geométrica.

Suponga que $a_1,a_2,\cdots,a_{100}\in\mathbb{R}^+$ tal que $a_i\geq a_{101-i}\,(i=1,2,\cdots,50).$ Sea $x_k=\frac{ka_{k+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_k}\,(k=1,2,\cdots,99).$ Demuestra que $$x_1x_2^2\cdots x_{99}^{99}\leq 1.$$

Sea $V$ un conjunto de $2019$ puntos en el espacio donde ninguno de los cuatro puntos están en el mismo plano, y $E$ sea el conjunto de aristas conectadas entre ellos. Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ que satisface la siguiente condición: si $E$ tiene al menos $n$ elementos, entonces existe $908$ subconjuntos de dos elementos de $E$ tal que Las dos aristas en cada subconjunto comparten un vértice común, Ninguno de los dos subconjuntos se intersectan.