Dados tres tetraedros $A_iB_i C_i D_i$ ($i=1,2,3$), los planos $\alpha _i,\beta _i,\gamma _i$ ($i=1,2,3$) se dibujan a través de $B_i ,C_i ,D_i$ respectivamente, y son perpendiculares a las aristas $A_i B_i, A_i C_i, A_i D_i$ ($i=1,2,3$) respectivamente. Suponga que los nueve planos $\alpha _i,\beta _i,\gamma _i$ ($i=1,2,3$) se encuentran en un punto $E$, y los puntos $A_1,A_2,A_3$ se encuentran en la línea $l$. Determine la intersección (forma y posición) de las esferas circunscritas de los tres tetraedros.

(1) Sean $a,b,c$ números reales positivos que satisfacen $(a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4)$. Demuestre que $a,b,c$ pueden ser las longitudes de tres lados de un triángulo respectivamente. (2) Sean $a_1,a_2,\dots ,a_n$, $n$ ($n>3$) números reales positivos que satisfacen $(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)^2>(n-1)(a_1^4+ a_2^4+\dots +a_n^4)$. Demuestre que cualesquiera tres de $a_1,a_2,\dots ,a_n$ pueden ser las longitudes de tres lados de un triángulo respectivamente.

Dada una secuencia finita de números reales $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ($\ast$), llamamos a un segmento $a_k,\dots ,a_{k+l-1}$ de la secuencia ($\ast$) un 'largo' (dragón chino) y $a_k$ 'cabeza' del 'largo' si la media aritmética de $a_k,\dots ,a_{k+l-1}$ es mayor que $1988$. (especialmente si un solo elemento $a_m>1988$, todavía consideramos $a_m$ como un 'largo'). Suponga que hay al menos un 'largo' entre la secuencia ($\ast$), demuestre que la media aritmética de todos aquellos elementos de la secuencia ($\ast$) que podrían ser 'cabeza' de un cierto 'largo' individualmente es mayor que $1988$.

Sean dos círculos $C_1,C_2$ con centro común, el radio de $C_2$ es el doble del radio de $C_1$. El cuadrilátero $A_1A_2A_3A_4$ está inscrito en $C_1$. La extensión de $A_4A_1$ se encuentra con $C_2$ en $B_1$; la extensión de $A_1A_2$ se encuentra con $C_2$ en $B_2$; la extensión de $A_2A_3$ se encuentra con $C_2$ en $B_3$; la extensión de $A_3A_4$ se encuentra con $C_2$ en $B_4$. Pruebe que $P(B_1B_2B_3B_4)\ge 2P(A_1A_2A_3A_4)$, y en qué caso se cumple la igualdad? ($P(X)$ denota el perímetro del cuadrilátero $X$)

Sean $r_1,r_2,\dots ,r_n$ números reales. Dados $n$ reales $a_1,a_2,\dots ,a_n$ que no son todos iguales a $0$, suponga que la desigualdad\n\[r_1(x_1-a_1)+ r_2(x_2-a_2)+\dots + r_n(x_n-a_n)\leq\sqrt{x_1^2+ x_2^2+\dots + x_n^2}-\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2}\]\nse cumple para reales arbitrarios $x_1,x_2,\dots ,x_n$. Encuentre los valores de $r_1,r_2,\dots ,r_n$.

Para cada entero positivo, defina una función \[ f(n)=\begin{cases}0, &\text{si n es el cuadrado de un entero}\\ \left\lfloor\frac{1}{\{\sqrt{n}\}}\right\rfloor, &\text{si n no es el cuadrado de un entero}\end{cases}. \] Encuentre el valor de $\sum_{k=1}^{200} f(k)$ .

Asuma que los números positivos $a, b, c, x, y, z$ satisfacen $cy + bz = a$ , $az + cx = b$ , y $bx + ay = c$ . Encuentre el valor mínimo de la función \[ f(x, y, z) = \frac{x^2}{x+1} + \frac {y^2}{y+1} + \frac{z^2}{z+1}. \]

En $\triangle ABC$ , $AB>AC$ , $l$ es una línea tangente del círculo circunscrito de $\triangle ABC$ , que pasa por $A$ . El círculo, centrado en $A$ con radio $AC$ , interseca a $AB$ en $D$ , y a la línea $l$ en $E, F$ . Demuestre que las líneas $DE, DF$ pasan por el incentro y un excentro de $\triangle ABC$ respectivamente.

Llamamos $ A_1, A_2, \ldots, A_n$ una $ n$ - división de $ A$ si (i) $ A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = A$ , (ii) $ A_i \cap A_j \neq \emptyset$ . Encuentra el entero positivo más pequeño $ m$ tal que para cualquier $ 14$ - división $ A_1, A_2, \ldots, A_{14}$ de $ A = \{1, 2, \ldots, m\}$ , existe un conjunto $ A_i$ ( $ 1 \leq i \leq 14$ ) tal que hay dos elementos $ a, b$ de $ A_i$ tales que $ b < a \leq \frac {4}{3}b$ .

Encuentra, con prueba, todos los números reales $ x \in \lbrack 0, \frac {\pi}{2} \rbrack$ , tales que $ (2 - \sin 2x)\sin (x + \frac {\pi}{4}) = 1$ .