Sea $n$ un entero mayor que dos, y sean $A_1,A_2, \cdots , A_{2n}$ subconjuntos distintos por pares de $\{1, 2, ,n\}$ . Determine el valor máximo de \[\sum_{i=1}^{2n} \dfrac{|A_i \cap A_{i+1}|}{|A_i| \cdot |A_{i+1}|}\] Donde $A_{2n+1}=A_1$ y $|X|$ denota el número de elementos en $X.$