Los círculos $O_1$ y $O_2$ se intersecan en dos puntos $B$ y $C,$ y $BC$ es el diámetro del círculo $O_1.$ Construir una línea tangente al círculo $O_1$ en $C$ e intersectando el círculo $O_2$ en otro punto $A.$ Unimos $AB$ para intersectar el círculo $O_1$ en el punto $E,$ luego unimos $CE$ y lo extendemos para intersectar el círculo $O_2$ en el punto $F.$ Asumimos que $H$ es un punto arbitrario en el segmento de línea $AF.$ Unimos $HE$ y lo extendemos para intersectar el círculo $O_1$ en el punto $G,$ y luego unimos $BG$ y lo extendemos para intersectar la línea extendida de $AC$ en el punto $D.$ Demostrar que \[ \frac{AH}{HF} = \frac{AC}{CD}.\]

Encontrar todos los enteros positivos $k$ tales que para cualquier número positivo $a, b$ y $c$ que satisfaga la desigualdad \[ k(ab + bc + ca) > 5(a^2 + b^2 + c^2),\] debe existir un triángulo con $a, b$ y $c$ como la longitud de sus tres lados respectivamente.

Hay $3n, n \in \mathbb{Z}^+$ estudiantes que participaron en un campamento de verano. Había tres estudiantes de guardia cada día. Cuando terminó el campamento de verano, se descubrió que dos de las $3n$ estudiantes solo estuvieron una vez de guardia el mismo día. (1) Cuando $n=3,$ ¿existe alguna disposición que satisfaga el requisito anterior? Demuestra tu conclusión. (2) Demuestra que $n$ es un número impar.

Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que $20n+2$ divida a $2003n + 2002.$

La suma de $m$ números pares positivos diferentes entre sí y $n$ números impares positivos diferentes entre sí es igual a $1987$. Encuentre, con demostración, el valor máximo de $3m+4n$.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un tetraedro. Construimos cuatro esferas mutuamente tangentes $S_1,S_2,S_3,S_4$ con centros $A_1,A_2,A_3,A_4$ respectivamente. Suponga que existe un punto $Q$ tal que podemos construir dos esferas centradas en $Q$ que satisfagan las siguientes condiciones: i) Una esfera con radio $r$ es tangente a $S_1,S_2,S_3,S_4$; ii) Una esfera con radio $R$ es tangente a todas las aristas del tetraedro $A_1A_2A_3A_4$. Demuestre que $A_1A_2A_3A_4$ es un tetraedro regular.

Se colocan arbitrariamente cinco puntos dentro de un triángulo equilátero dado $ABC$ cuya área es igual a $1$. Demuestre que podemos dibujar tres triángulos equiláteros dentro del triángulo $ABC$ de tal manera que se cumplan todas las siguientes condiciones: i) los cinco puntos están cubiertos por los tres triángulos equiláteros; ii) cualquier lado de los tres triángulos equiláteros es paralelo a un cierto lado del triángulo $ABC$; iii) la suma de las áreas de los tres triángulos equiláteros no es mayor que $0.64$.

Algunos jugadores participan en una competición. Suponga que cada jugador juega un partido contra todos los demás jugadores y no hay ningún partido empatado en la competición. El jugador $A$ se considera un jugador excelente si se cumple la siguiente condición: para cualquier otro jugador $B$, o bien $A$ vence a $B$ o existe otro jugador $C$ tal que $C$ vence a $B$ y $A$ vence a $C$. Se sabe que sólo hay un jugador excelente al final, demuestre que este jugador vence a todos los demás jugadores.

Se nos da un triángulo equilátero ABC con la longitud de su lado igual a $1$. Hay $n-1$ puntos en cada lado del triángulo $ABC$ que dividen el lado en $n$ segmentos iguales. Dibujamos todas las líneas posibles que pasan por dos cualesquiera de esos $3(n-1)$ puntos de tal manera que sean paralelos a uno de los tres lados del triángulo $ABC$. Todas esas líneas dividen el triángulo $ABC$ en algunos triángulos menores cuyos vértices se llaman nodos. Asignamos un número real para cada nodo de tal manera que se satisfagan las siguientes condiciones: (I) los números reales $a,b,c$ se asignan a $A,B,C$ respectivamente; (II) para cualquier rombo que consta de dos triángulos menores que comparten un lado común, la suma de los números de los vértices en una diagonal es igual a la de los vértices en la otra diagonal. 1) Encuentre la distancia mínima entre el nodo con el número máximo al nodo con el número mínimo; 2) Denotemos por $S$ la suma de los números de todos los nodos, encuentre $S$.

Sea $n$ un número natural. Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que la ecuación $z^{n+1}-z^n-1=0$ tenga una raíz compleja cuyo módulo sea igual a $1$ es que $n+2$ sea divisible por $6$.