Encuentre todas las funciones $f: \mathbb R^+ \rightarrow \mathbb R^+$ que satisfacen la siguiente condición: para tres números reales distintos $a,b,c$ , se puede formar un triángulo con longitudes de lado $a,b,c$ , si y solo si se puede formar un triángulo con longitudes de lado $f(a),f(b),f(c)$ .

Sea $S$ un conjunto finito de puntos en un plano, donde no hay tres puntos colineales, y la envolvente convexa de $S$ , $\Omega$ , es un $2016-$ g en $A_1A_2\ldots A_{2016}$ . Cada punto en $S$ está etiquetado con uno de los cuatro números $\pm 1,\pm 2$ , tal que para $i=1,2,\ldots , 1008,$ los números etiquetados en los puntos $A_i$ y $A_{i+1008}$ son el negativo entre sí. Dibuje triángulos cuyos vértices están en $S$ , de modo que dos triángulos no tengan ningún punto interior en común, y la unión de estos triángulos es $\Omega$ . Pruebe que debe existir un triángulo, donde los números etiquetados en algunos dos de sus vértices son el negativo entre sí.

Sean $a,b,b',c,m,q$ enteros positivos, donde $m>1,q>1,|b-b'|\ge a$ . Se da que existe un entero positivo $M$ tal que $$S_q(an+b)\equiv S_q(an+b')+c\pmod{m}$$ se cumple para todos los enteros $n\ge M$ . Pruebe que la ecuación anterior es verdadera para todos los enteros positivos $n$ . (Aquí $S_q(x)$ es la suma de los dígitos de $x$ tomados en base $q$ ) .

En el cuadrilátero cíclico $ABCD$ , $AB>BC$ , $AD>DC$ , $I,J$ son los incentros de $\triangle ABC$ , $\triangle ADC$ respectivamente. El círculo con diámetro $AC$ se encuentra con el segmento $IB$ en $X$ , y la extensión de $JD$ en $Y$ . Pruebe que si los cuatro puntos $B,I,J,D$ son concíclicos, entonces $X,Y$ son las reflexiones entre sí a través de $AC$ .

En el plano coordenado, los puntos con ambas coordenadas siendo números racionales se denominan puntos racionales. Para cualquier entero positivo $n$ , ¿hay alguna forma de usar $n$ colores para colorear todos los puntos racionales, cada punto está coloreado con un color, de modo que cualquier segmento de línea con ambos extremos siendo puntos racionales contiene los puntos racionales de cada color?

Sea $n$ un entero mayor que $1$ , $\alpha$ es un real, $0<\alpha < 2$ , $a_1,\ldots ,a_n,c_1,\ldots ,c_n$ son todos números positivos. Para $y>0$ , sea $$f(y)=\left(\sum_{a_i\le y} c_ia_i^2\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{a_i>y} c_ia_i^{\alpha} \right)^{\frac{1}{\alpha}}.$$ Si el número positivo $x$ satisface $x\ge f(y)$ (para alguna $y$ ) , pruebe que $f(x)\le 8^{\frac{1}{\alpha}}\cdot x$ .

Sea $k$ un entero positivo, y $n=\left(2^k\right)!$ . Demuestre que $\sigma(n)$ tiene al menos un divisor primo mayor que $2^k$ , donde $\sigma(n)$ es la suma de todos los divisores positivos de $n$.

Sea $a\in (0,1)$ , $f(z)=z^2-z+a, z\in \mathbb{C}$ . Demuestre que la siguiente afirmación es válida: Para cualquier número complejo z con $|z| \geq 1$ , existe un número complejo $z_0$ con $|z_0|=1$ , tal que $|f(z_0)| \leq |f(z)|$

Para una secuencia $a_1,a_2,...,a_m$ de números reales, defina los siguientes conjuntos $$A=\{a_i | 1\leq i\leq m\}\ \text{y} \ B=\{a_i+2a_j | 1\leq i,j\leq m, i\neq j\}$$ Sea $n$ un entero dado, y $n>2$. Para cualquier secuencia aritmética estrictamente creciente de enteros positivos, determine, con prueba, el número mínimo de elementos del conjunto $A\triangle B$ , donde $A\triangle B$ $= \left(A\cup B\right) \setminus \left(A\cap B\right).$

Sean $a,b,c,d$ las longitudes de los lados de un cuadrángulo convexo con el área igual a $S$, sea $S =\{x_1, x_2,x_3,x_4\}$ que consiste en permutaciones $x_i$ de $(a, b, c, d)$. Demuestre que $$S \leq \frac{1}{2}(x_1x_2+x_3x_4).$$