Encuentre la menor constante $k$ tal que $ \frac {x}{\sqrt {x + y}} + \frac {y}{\sqrt {y + z}} + \frac {z}{\sqrt {z + x}}\leq k\sqrt {x + y + z}$ para todos los $x$ , $y$ , $z$ positivos.

Dados $n$ puntos arbitrariamente en el plano $P_{1},P_{2},\ldots,P_{n},$ entre ellos no hay tres puntos colineales. Cada $P_{i}$ ( $1\le i\le n$ ) se colorea de rojo o azul arbitrariamente. Sea $S$ el conjunto de triángulos que tienen a $ \{P_{1},P_{2},\ldots,P_{n}\}$ como vértices, y que tienen la siguiente propiedad: para cualquier par de segmentos $P_{i}P_{j}$ y $P_{u}P_{v},$ el número de triángulos que tienen a $P_{i}P_{j}$ como lado y el número de triángulos que tienen a $P_{u}P_{v}$ como lado son los mismos en $S.$ Encuentre el menor $n$ tal que en $S$ existan dos triángulos, los vértices de cada triángulo teniendo el mismo color.

Sea el cuadrilátero convexo $ABCD$ inscrito en un círculo con centro en $O$. Los lados opuestos $BA,CD$ se encuentran en $H$, las diagonales $AC,BD$ se encuentran en $G$. Sean $O_{1},O_{2}$ los circuncentros de los triángulos $AGD,BGC$. $O_{1}O_{2}$ interseca a $OG$ en $N$. La línea $HG$ corta las circunferencias circunscritas de los triángulos $AGD,BGC$ en $P,Q$, respectivamente. Denote por $M$ el punto medio de $PQ$. Pruebe que $NO = NM.$

Sea $n$ un entero positivo, $A,B\subseteq[0,n]$ son conjuntos de enteros que satisfacen $ \mid A\mid + \mid B\mid\ge n + 2$. Pruebe que existen $a\in A, b\in B$ tales que $a + b$ es una potencia de $2.$

Después de multiplicar y simplificar el polinomio $ (x - 1)(x^2 - 1)(x^3 - 1)\cdots(x^{2007} - 1),$ deshaciéndonos de todos los términos cuyas potencias son mayores que $2007,$ adquirimos un nuevo polinomio $f(x)$. Encuentre su grado y el coeficiente del término que tiene la potencia más alta. Encuentre el grado de $f(x) = (1 - x)(1 - x^{2})...(1 - x^{2007})$ $ (mod$ $ x^{2008}).$

Sean $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ números reales positivos que satisfacen $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = 1$. Pruebe que \[\left(a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + \cdots + a_{n}a_{1}\right)\left(\frac {a_{1}}{a_{2}^2 + a_{2}} + \frac {a_{2}}{a_{3}^2 + a_{3}} + \cdots + \frac {a_{n}}{a_{1}^2 + a_{1}}\right)\ge\frac {n}{n + 1}\]

Muestre que existe un entero positivo $k$ tal que $k \cdot 2^{n} + 1$ es compuesto para todo $n \in \mathbb{N}_{0}$ .

Dado un entero $k > 1$. Llamamos a un entero decimal de $k$ dígitos $a_{1}a_{2}\cdots a_{k}$ $p -$ monótono, si para cada entero $i$ que satisface $1\le i\le k - 1$, cuando $a_{i}$ es un número impar, $a_{i} > a_{i + 1};$ cuando $a_{i}$ es un número par, $a_{i}<a_{i + 1}$. Encuentre el número de enteros $p -$ monótonos de $k -$ dígitos.

Sea $ABC$ un triángulo. El círculo $\omega$ pasa por los puntos $B$ y $C$. El círculo $\omega_{1}$ es tangente internamente a $\omega$ y también a los lados $AB$ y $AC$ en $T, P$ y $Q$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ (que contiene a $T$) de $\omega$. Pruebe que las líneas $PQ, BC$ y $MT$ son concurrentes.

Asuma que hay $n\ge3$ puntos en el plano, pruebe que existen tres puntos $A,B,C$ satisfaciendo $1\le\frac{AB}{AC}\le\frac{n+1}{n-1}.$