Dado un triángulo acutángulo cuyo circuncentro es $O$. Sea $K$ un punto en $BC$, diferente de su punto medio. $D$ está en la extensión del segmento $AK, BD$ y $AC$, $CD$ y $AB$ se intersecan en $N, M$ respectivamente. Demuestra que $A, B, D, C$ son concíclicos.

Sea $f: (0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ una función que satisface la siguiente condición: para números reales positivos arbitrarios $x$ e $y$ , tenemos $f(xy)\le f(x)f(y)$ . Demuestre que para cualquier número real positivo arbitrario $x$ y número natural $n$ , la desigualdad $f(x^n)\le f(x)f(x^2)^{\dfrac{1}{2}}\dots f(x^n)^{\dfrac{1}{n}}$ se cumple.

$10$ estudiantes compraron algunos libros en una librería. Se sabe que cada estudiante compró exactamente tres tipos de libros, y cada dos de ellos compartieron al menos un tipo de libro. Determine, con prueba, ¿cuántos estudiantes compraron el libro más popular al menos? (Nota: el libro más popular significa que la mayoría de los estudiantes compraron este tipo de libro)

Se nos da un conjunto $S=\{z_1,z_2,\cdots ,z_{1993}\}$ , donde $z_1,z_2,\cdots ,z_{1993}$ son números complejos no nulos (también vistos como vectores no nulos en el plano). Demuestre que podemos dividir $S$ en algunos grupos tales que se cumplan las siguientes condiciones: (1) Cada elemento en $S$ pertenece y solo pertenece a un grupo; (2) Para cualquier grupo $p$ , si usamos $T(p)$ para denotar la suma de todos los miembros en $p$ , entonces para cualquier miembro $z_i (1\le i \le 1993)$ de $p$ , el ángulo entre $z_i$ y $T(p)$ no excede $90^{\circ}$ ; (3) Para cualquier dos grupos $p$ y $q$ , el ángulo entre $T(p)$ y $T(q)$ excede $90^{\circ}$ (use la notación introducida en (2)).

Sean $K, K_1$ dos círculos con el mismo centro y sus radios iguales a $R$ y $R_1 (R_1>R)$ respectivamente. El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en el círculo $K$ . El cuadrilátero $A_1B_1C_1D_1$ está inscrito en el círculo $K_1$ donde $A_1,B_1,C_1,D_1$ se encuentran en los rayos $CD,DA,AB,BC$ respectivamente. Demuestre que $\dfrac{S_{A_1B_1C_1D_1}}{S_{ABCD}}\ge \dfrac{R^2_1}{R^2}$ .

Dado un número natural $k$ y un número real $a (a>0)$ , halle el valor máximo de $a^{k_1}+a^{k_2}+\cdots +a^{k_r}$ , donde $k_1+k_2+\cdots +k_r=k$ ( $k_i\in \mathbb{N} ,1\le r \le k$ ) .

Dado un $n$ impar, demuestre que existen $2n$ enteros $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ ; $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ , tales que para cualquier entero $k$ ( $0<k<n$ ) , los siguientes $3n$ enteros: $a_i+a_{i+1}, a_i+b_i, b_i+b_{i+k}$ ( $i=1,2,\cdots ,n; a_{n+1}=a_1, b_{n+j}=b_j, 0<j<n$ ) son de diferentes restos al dividir por $3n$ .

Considere una tabla de números de $7\times 7$ $ a_{ij} = (i^2 + j)(i + j^2), 1\le i,j\le 7.$ Cuando agregamos arbitrariamente cada término de una progresión aritmética que consta de $7$ enteros al término correspondiente de cierta fila (o columna) a su vez, llámelo una operación. Determine si cada fila de la tabla de números es una progresión aritmética, después de un número finito de operaciones.

Sea $ABCD$ el cuadrilátero inscrito con la circunferencia circunscrita $\omega$. Sea $\zeta$ otro círculo que es internamente tangente a $\omega$ y a las líneas $BC$ y $AD$ en los puntos $M,N$ respectivamente. Sean $I_1,I_2$ los incentros de los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle ABD$. Pruebe que $M,I_1,I_2,N$ son colineales.

Encuentre todos los pares de enteros positivos $ (a,b)$ tales que $ a^2 + b - 1$ es una potencia de un número primo $; a^2 + b + 1$ puede dividir $ b^2 - a^3 - 1,$ pero no puede dividir $ (a + b - 1)^2.$