Sea $A=\{1,2,3,\cdots ,17\}$ . Una función $f:A\rightarrow A$ se define de la siguiente manera: $f^{[1]}(x)=f(x), f^{[k+1]}(x)=f(f^{[k]}(x))$ para $k\in\mathbb{N}$ . Suponga que $f$ es biyectiva y que existe un número natural $M$ tal que: i) cuando $m<M$ y $1\le i\le 16$ , tenemos $f^{[m]}(i+1)- f^{[m]}(i) \not=\pm 1\pmod{17}$ y $f^{[m]}(1)- f^{[m]}(17) \not=\pm 1\pmod{17}$ ; ii) cuando $1\le i\le 16$ , tenemos $f^{[M]}(i+1)- f^{[M]}(i)=\pm 1 \pmod{17}$ y $f^{[M]}(1)- f^{[M]}(17)=\pm 1\pmod{17}$ . Encuentre el valor máximo de $M$ .

Considere un cuadrilátero cíclico $ABCD$ . Las extensiones de sus lados $AB,DC$ se encuentran en el punto $P$ y las extensiones de sus lados $AD,BC$ se encuentran en el punto $Q$ . Suponga que $\quad QE,QF$ son tangentes a la circunferencia circunscrita del cuadrilátero $ABCD$ en $E,F$ respectivamente. Demuestre que $P,E,F$ son colineales.

Demuestre que hay infinitos números naturales $n$ tales que podemos dividir $1,2,\ldots ,3n$ en tres secuencias $(a_n),(b_n)$ y $(c_n)$ , con $n$ términos en cada una, que satisfacen las siguientes condiciones: i) $a_1+b_1+c_1= a_2+b_2+c_2=\ldots =a_n+b_n+c_n$ y $a_1+b_1+c_1$ es divisible por $6$ ; ii) $a_1+a_2+\ldots +a_n= b_1+b_2+\ldots +b_n=c_1+c_2+\ldots +c_n,$ y $a_1+a_2+\ldots +a_n$ es divisible por $6$ .

Sea $A_1B_1C_1D_1$ un cuadrilátero convexo arbitrario. $P$ es un punto dentro del cuadrilátero tal que cada ángulo encerrado por un lado y un rayo que comienza en un vértice en ese lado y pasa por el punto $P$ es agudo. Definimos recursivamente puntos $A_k,B_k,C_k,D_k$ simétricos a $P$ con respecto a las líneas $A_{k-1}B_{k-1}, B_{k-1}C_{k-1}, C_{k-1}D_{k-1},D_{k-1}A_{k-1}$ respectivamente para $k\ge 2$ . Considere la secuencia de cuadriláteros $A_iB_iC_iD_i$ . i) Entre los primeros 12 cuadriláteros, ¿cuáles son similares al cuadrilátero número 1997 y cuáles no lo son? ii) Suponga que el cuadrilátero número 1997 es cíclico. Entre los primeros 12 cuadriláteros, ¿cuáles son cíclicos y cuáles no lo son?

Sean $x_1,x_2,\ldots ,x_{1997}$ números reales que satisfacen las siguientes condiciones: i) $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\le x_i\le \sqrt{3}$ para $i=1,2,\ldots ,1997$ ; ii) $x_1+x_2+\cdots +x_{1997}=-318 \sqrt{3}$ . Determine (con prueba) el valor máximo de $x^{12}_1+x^{12}_2+\ldots +x^{12}_{1997}$ .

¿Existen reales positivos $a_0, a_1,\ldots ,a_{19}$ , tales que el polinomio $P(x)=x^{20}+a_{19}x^{19}+\ldots +a_1x+a_0$ no tiene ninguna raíz real, pero todos los polinomios formados al intercambiar cualesquiera dos coeficientes $a_i,a_j$ tiene al menos una raíz real?

Dado cualquier entero positivo $c$ , denotemos $p(c)$ como el mayor factor primo de $c$ . Una secuencia $\{a_n\}$ de enteros positivos satisface $a_1>1$ y $a_{n+1}=a_n+p(a_n)$ para todo $n\ge 1$ . Demuestre que debe existir al menos un cuadrado perfecto en la secuencia $\{a_n\}$ .

Encuentre la mayor constante positiva $C$ tal que lo siguiente se satisfaga: Dados $n$ arcos (conteniendo sus puntos finales) $A_1,A_2,\ldots ,A_n$ en la circunferencia de un círculo, donde entre todos los conjuntos de tres arcos $(A_i,A_j,A_k)$ $(1\le i< j< k\le n)$ , al menos la mitad de ellos tiene $A_i\cap A_j\cap A_k$ no vacío, entonces existe $l>Cn$ , tal que podemos escoger $l$ arcos entre $A_1,A_2,\ldots ,A_n$ , cuya intersección es no vacía.

Sea $S$ un conjunto, $|S|=35$ . Un conjunto $F$ de aplicaciones de $S$ en sí mismo se dice que satisface la propiedad $P(k)$ , si para cualquier $x,y\in S$ , existen $f_1, \cdots, f_k \in F$ (no necesariamente diferentes), tales que $f_k(f_{k-1}(\cdots (f_1(x))))=f_k(f_{k-1}(\cdots (f_1(y))))$ . Encuentre el menor entero positivo $m$ , tal que si $F$ satisface la propiedad $P(2019)$ , entonces también satisface la propiedad $P(m)$ .

En el triángulo $ABC$ , $AB>AC.$ La bisectriz de $\angle BAC$ se encuentra con $BC$ en $D.$ $P$ está en la línea $DA,$ tal que $A$ se encuentra entre $P$ y $D$ . $PQ$ es tangente a $\odot(ABD)$ en $Q.$ $PR$ es tangente a $\odot(ACD)$ en $R.$ $CQ$ se encuentra con $BR$ en $K.$ La línea paralela a $BC$ y que pasa por $K$ se encuentra con $QD,AD,RD$ en $E,L,F,$ respectivamente. Demuestre que $EL=KF.$