El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en el círculo $\omega$. $F$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$. $BA$ y $CD$ se encuentran en $E$. Sean $G$ y $H$ las proyecciones de $F$ sobre $AB$ y $CD$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $EF$, respectivamente. Si la circunferencia circunscrita del $\triangle MNG$ solo se encuentra con el segmento $BF$ en $P$, y la circunferencia circunscrita del $\triangle MNH$ solo se encuentra con el segmento $CF$ en $Q$, demuestre que $PQ$ es paralelo a $BC$.

Encuentra todos los números primos $p$ , tales que existe un número infinito de enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: $p|n^{ n+1}+(n+1)^n.$

Sea $n$ un entero positivo $\geq 2$ . Considera una cuadrícula de $n$ por $n$ con todas las entradas $1$ . Define una operación en un cuadrado como cambiar los signos de todos los cuadrados adyacentes a él, pero no el signo del suyo propio. Encuentra todos los $n$ tales que es posible después de una secuencia finita de operaciones alcanzar una cuadrícula de $n$ por $n$ con todas las entradas $-1$

Define una secuencia $\{a_n\}$ por $$a_0=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n}^2}{2012}, (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots),$$ encuentra el entero $k$ tal que $a_{k}<1<a_{k+1}.$

$O$ es el circuncentro del triángulo acutángulo $\Delta ABC$ , $H$ es el ortocentro. $AD \bot BC$ , $EF$ es la bisectriz perpendicular de $AO$ , $D,E$ en $BC$ . Demuestra que la circunferencia circunscrita de $\Delta ADE$ pasa por el punto medio de $OH$ .

$P$ es un punto en el $\vartriangle ABC$ , $\omega $ es la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABC $ . $B P \cap \omega = \{ {B, B_1}\}$ , $C P \cap \omega =\{ {C, C_1} \}$ , $P E \perp A C$ , $PF \perp AB$ . El radio de la circunferencia inscrita y circunscrita de $\Delta ABC $ es $r,R$ respectivamente. Demuestra que $$\frac{{EF}}{{{B_1}{C_1}}} \ge\frac{r}{R}.$$

Sea $A$ un conjunto de $n$ elementos y $A_1, A_2, ... A_k$ subconjuntos de $A$ tales que para cualesquiera $2$ subconjuntos distintos $A_i, A_j$ o bien son disjuntos o uno contiene al otro. Encuentra el valor máximo de $k$

Demuestra que entre cualquier $n\geq 3$ vértices de un $(2n-1)$ - gono regular podemos encontrar $3$ de ellos formando un triángulo isósceles.

Encuentra el entero positivo más pequeño $m$ que satisface la siguiente condición: para todos los números primos $p$ tales que $p>3$ , se tiene $105|9^{ p^2}-29^p+m.$

Sea $(a_n)$ una secuencia de números reales no negativos que satisfacen $a_{n+m}\le a_n+a_m$ para todos los enteros no negativos $m,n$ . Demuestre que si $n\ge m$ entonces $a_n\le ma_1+\left(\dfrac{n}{m}-1\right)a_m$ se cumple.