Para cada permutación $ \tau$ de $ 1, 2, \ldots, 10$ , $ \tau = (x_1, x_2, \ldots, x_{10})$ , defina $ S(\tau) = \sum_{k = 1}^{10} |2x_k - 3x_{k - 1}|$ . Sea $ x_{11} = x_1$ . Encuentre I. Los valores máximo y mínimo de $ S(\tau)$ . II. El número de $ \tau$ que permite que $ S(\tau)$ alcance su máximo. III. El número de $ \tau$ que permite que $ S(\tau)$ alcance su mínimo.

Para un número natural fijo $m \geq 2$ , demuestre que a.) Existen enteros $x_1, x_2, \ldots, x_{2m}$ tales que \[x_i x_{m + i} = x_{i + 1} x_{m + i - 1} + 1, i = 1, 2, \ldots, m \hspace{2cm}(*)\] b.) Para cualquier conjunto de enteros $\lbrace x_1, x_2, \ldots, x_{2m}$ que cumpla (*), se puede construir una secuencia integral $\ldots, y_{-k}, \ldots, y_{-1}, y_0, y_1, \ldots, y_k, \ldots$ tal que $y_k y_{m + k} = y_{k + 1} y_{m + k - 1} + 1, k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ tal que $y_i = x_i, i = 1, 2, \ldots, 2m$ .

Un círculo es tangente a los lados $AB$ y $AD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$ en $G$ y $H$ respectivamente, y corta la diagonal $AC$ en $E$ y $F$ . ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que exista otro círculo que pase por $E$ y $F$ , y sea tangente a $DA$ y $DC$ extendidos?

Sea $S = \lbrace 1, 2, \ldots, 15 \rbrace$ . Sean $A_1, A_2, \ldots, A_n$ $n$ subconjuntos de $S$ que satisfacen las siguientes condiciones: I. $|A_i| = 7, i = 1, 2, \ldots, n$ ; II. $|A_i \cap A_j| \leq 3, 1 \leq i < j \leq n$ III. Para cualquier subconjunto $M$ de 3 elementos de $S$ , existe $A_k$ tal que $M \subset A_k$ . Encuentre el valor mínimo posible de $n$ .

Encuentre todos los números primos $p$ que satisfacen la siguiente condición: Para cualquier primo $q < p$ , si $p = kq + r, 0 \leq r < q$ , no existe un entero $q > 1$ tal que $a^{2} \mid r$ .

Para números reales no negativos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ que satisfacen $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1$ , encuentre el valor máximo posible de $\sum_{j = 1}^{n} (x_j^{4} - x_j^{5})$ .

Sean $A$ y $B$ enteros positivos. El conjunto $S$ tiene las siguientes propiedades: Para cada entero no negativo $k$ , $A^k \in S$ ; Si $n \in S$ , entonces todos los divisores positivos de $n$ también pertenecen a $S$ ; Si $m$ , $n \in S$ , y $m$ y $n$ son relativamente primos, entonces $mn \in S$ ; Si $n \in S$ , entonces $An+b \in S$ . Demuestra que para cualquier $p$ que sea relativamente primo con $B$ , $p \in S$ .

Sea un subconjunto $S$ de cuadrados en una cuadrícula conectado si y sólo si para cualquier cuadrado distinto $A$ , $B$ $\in S$ , existe un entero $l \le 2$ y $l$ cuadrados $A=C_1, C_2, \cdots, C_l=B$ tal que $C_i$ y $C_{i+1}$ comparten un lado común para cada $1 \le i \le l-1$ . Alice tiene una cuadrícula de $3 \times n$ que está coloreada arbitrariamente de blanco y negro. Para cada entero positivo $n$ , encuentra el $K$ más grande tal que, sin importar cómo se coloree la cuadrícula, existe un subconjunto conectado de cuadrados con $B$ cuadrados negros y $W$ cuadrados blancos, y $|B-W| \ge K$ .

En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , $AC$ biseca $\angle BAD$ , y $E$ , $F$ están en los lados $BC$ , $CD$ respectivamente, tal que $EF \parallel BD$ . $P$ , $Q$ se encuentran en las extensiones de $FA$ , $EA$ tal que los círculos $ABP$ y $ADQ$ son ambos tangentes a $AC$ . Demuestra que $B$ , $P$ , $Q$ , $D$ son concíclicos.

Define el índice de aislamiento del número real $q$ como $\min ( \{x\}, 1-\{x\})$ , donde $[x]$ es el entero más grande no mayor que $x$ , y $\{x\}=x-[x]$ . Para cada entero positivo $r$ , encuentra el número real $C$ máximo posible, tal que existe una secuencia geométrica infinita con razón común $r$ y el índice de aislamiento de cada término es al menos $C$ .