Los números complejos $z$ y $w$ satisfacen $z+w=2$ . Encuentra el valor mínimo de $$|z^2-2w|+|w^2-2z|$$

Un círculo es interesante si su centro se encuentra en el eje Y y es tangente a la hipérbola $x^2-y^2=1$ , cuyo vértice en la rama derecha es $A$ . Cuando dos círculos interesantes $O_1$ y $O_2$ son externamente tangentes en $P$ , existe una constante $k$ tal que $O_1O_2 = k \cdot AP$ siempre es cierto. Encuentra $k$ .

$\triangle ABC$ satisface $$\cos C= \frac{\sin A+\cos A}{2} = \frac{\sin B+\cos B}{2} $$ Encuentra $\cos C$ .

Llamamos a $(a,b,c)$ una tripleta afortunada si el número total de dígitos de los enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ es $8$ , y los dígitos se pueden reorganizar para formar $20240908$ . Por ejemplo, $(9,8,202400)$ es una tripleta afortunada, mientras que $(98, 24, 2200)$ no lo es. Encuentra el número de tripletas afortunadas $(a,b,c)$ que satisfacen $10 < a < b < c$ .

Sean $F_1$ y $F_2$ los dos focos de la elipse $\omega$ . $P$ es un punto en $\omega$ . Sea $O$ el centro del excírculo de $\triangle PF_1F_2$ . Cuando $\vec{PO} \cdot \vec{F_1F_2} = 2\vec{PF_1} \cdot \vec{PF_2}$ , encuentra la excentricidad mínima de $\omega$ .

Sea $f(x)$ una función real con el período más pequeño $5$ , y $g(x)$ se define como $f(2^x)$ . Dado que $g(x)$ tiene $25$ ceros en el rango $[0,5)$ , encuentra el número de ceros que $g(x)$ tiene en el rango $[1,4)$ .

Alice tiene un dado injusto tal que la probabilidad de obtener un $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ forma una secuencia aritmética, en este orden. Bob tira el dado dos veces, obteniendo $a$ y $b$ respectivamente. Hay una probabilidad de $\frac{1}{7}$ de que $a+b=7$ . Encuentra la probabilidad de que $a=b$ .

En el tetraedro $P-ABC$ , $PA$ es perpendicular a la cara $ABC$ . Si $AB=1$ , $BP=2$ , $BC=3$ , $CP=4$ , encuentra el volumen de $P-ABC$ .

Sean los conjuntos $A=\{x \in \mathbf{R}| x^2-10x+a \le 0 \}$ y $B= \{x \in \mathbf{R} | bx\le b^3\}$ , donde $a$ y $b$ son números reales. Si $A \cap B = [4,9]$ , encuentra el valor de $a+b$ .

Sea $\{a_n\}$ una secuencia geométrica infinita, donde la razón común $0<|q|<1$ . Dado que $$\sum_{i=1}^\infty a_n = \sum_{i=1}^\infty a_n^2$$ encuentra el rango más grande posible de $a_2$ .