Dado un entero $n\ge 4$ . $S=\{1,2,\ldots,n\}$ . $A,B$ son dos subconjuntos de $S$ tales que para cada par de $(a,b),a\in A,b\in B, ab+1$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que \[\min \{|A|,|B|\}\le\log _2n.\]

Encuentra el menor valor posible de un número real $c$ tal que para cualquier polinomio mónico de grado $2012$ \[P(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\ldots+a_1x+a_0\] con coeficientes reales, podemos obtener un nuevo polinomio $Q(x)$ multiplicando algunos de sus coeficientes por $-1$ tal que cada raíz $z$ de $Q(x)$ satisface la desigualdad \[ \left\lvert \operatorname{Im} z \right\rvert \le c \left\lvert \operatorname{Re} z \right\rvert. \]

Dado un entero $k\ge 2$ . Demuestra que existen $k$ enteros positivos distintos por pares $a_1,a_2,\ldots,a_k$ tales que para cualquier entero no negativo $b_1,b_2,\ldots,b_k,c_1,c_2,\ldots,c_k$ satisfaciendo $a_i\le b_i\le 2a_i, i=1,2,\ldots,k$ y $\prod_{i=1}^{k}b_i^{c_i}<\prod_{i=1}^{k}b_i$ , tenemos \[k\prod_{i=1}^{k}b_i^{c_i}<\prod_{i=1}^{k}b_i.\]

En un triángulo acutángulo $ABC$ , $\angle A>60^{\circ}$ , $H$ es su ortocentro. $M,N$ son dos puntos en $AB,AC$ respectivamente, tales que $\angle HMB=\angle HNC=60^{\circ}$ . Sea $O$ el circuncentro del triángulo $HMN$ . $D$ es un punto en el mismo lado con $A$ de $BC$ tal que $\triangle DBC$ es un triángulo equilátero. Demuestra que $H,O,D$ son colineales.

Dado un entero $n\ge 2$ , una función $f:\mathbb{Z}\rightarrow \{1,2,\ldots,n\}$ se llama buena , si para cualquier entero $k,1\le k\le n-1$ existe un entero $j(k)$ tal que para todo entero $m$ tenemos \[f(m+j(k))\equiv f(m+k)-f(m) \pmod{n+1}. \] Encuentra el número de funciones buenas.

Dados dos enteros $m,n$ que son mayores que $1$ . $r,s$ son dos números reales positivos dados tales que $r<s$ . Para todos los $a_{ij}\ge 0$ que no son todos ceros, encuentra el valor máximo de la expresión \[f=\frac{(\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i=1}^{m}a_{ij}^s)^{\frac{r}{s}})^{\frac{1}{r}}}{(\sum_{i=1}^{m})\sum_{j=1}^{n}a_{ij}^r)^{\frac{s}{r}})^{\frac{1}{s}}}.\]

Dado un entero $n\ge 2$ . Demuestra que solo existe un número finito de n-tuplas de enteros positivos $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ que satisfacen simultáneamente las siguientes tres condiciones: $a_1>a_2>\ldots>a_n$ ; $\gcd (a_1,a_2,\ldots,a_n)=1$ ; $a_1=\sum_{i=1}^{n}\gcd (a_i,a_{i+1})$ , donde $a_{n+1}=a_1$ .

Sean $a_1<a_2$ dos enteros dados. Para cualquier entero $n\ge 3$ , sea $a_n$ el entero más pequeño que es mayor que $a_{n-1}$ y puede ser representado de forma única como $a_i+a_j$ , donde $1\le i<j\le n-1$ . Dado que solo hay un número finito de números pares en $\{a_n\}$ , demuestra que la secuencia $\{a_{n+1}-a_{n}\}$ es eventualmente periódica, es decir, que existen enteros positivos $T,N$ tales que para todos los enteros $n>N$ , tenemos \[a_{T+n+1}-a_{T+n}=a_{n+1}-a_{n}.\]

Demuestra que existe un número real positivo $C$ con la siguiente propiedad: para cualquier entero $n\ge 2$ y cualquier subconjunto $X$ del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ tal que $|X|\ge 2$ , existen $x,y,z,w \in X$ (no necesariamente distintos) tales que \[0<|xy-zw|<C\alpha ^{-4}\] donde $\alpha =\frac{|X|}{n}$ .

En un grafo simple $G$ , llamamos a $t$ vértices adyacentes por pares una $t$ -clique . Si un vértice está conectado con todos los demás vértices en el grafo, lo llamamos un vértice central. Dados dos enteros $n,k$ tales que $\dfrac {3}{2} \leq \dfrac{1}{2} n < k < n$ . Sea $G$ un grafo en $n$ vértices tal que (1) $G$ no contiene una $(k+1)$ - clique ; (2) si agregamos una arista arbitraria a $G$ , eso crea una $(k+1)$ - clique . Encuentra el menor número posible de vértices centrales en $G$ .