Un triángulo rectángulo tiene la propiedad de que sus lados son enteros positivos primos relativos por pares y que la razón de su área a su perímetro es un cuadrado perfecto. Encuentra el área mínima posible de este triángulo.

En cada cuadrado de una cuadrícula de $4$ por $4$, pones un $+1$ o un $-1$. Si se eliminan 2 filas y 2 columnas cualesquiera, la suma de los 4 números restantes no es negativa. ¿Cuál es el número mínimo de $+1$'s necesarios para poder satisfacer las condiciones?

Sea $p$ un primo tal que $3|p+1$. Demuestra que $p|a-b$ si y solo si $p|a^3-b^3$

Sean $a$, $b$, $c$ reales no negativos tales que $$a^2+b^2+c^2+ab+\frac{2}{3}ac+\frac{4}{3}bc=1$$ Encuentra el valor máximo y mínimo de $a+b+c$.

En el triángulo $ABC$, sean $O$, $I$ y $H$ el circuncentro, el incentro y el ortocentro respectivamente. Los segmentos $AO$, $AI$ y $AH$ intersectan la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $D$, $E$ y $F$. $CD$ intersecta $AE$ en $M$ y $CE$ intersecta $AF$ en $N$. Demuestra que $MN$ es paralelo a $BC$.

Sea $a=1+10^{-4}$ . Considera alguna matriz de $2023\times 2023$ con cada entrada un real en $[1,a]$ . Sea $x_i$ la suma de los elementos de la fila $i$ - ésima e $y_i$ la suma de los elementos de la columna $i$ - ésima para cada entero $i\in [1,n]$ . Encuentra el valor máximo posible de $\dfrac{y_1y_2\cdots y_{2023}}{x_1x_2\cdots x_{2023}}$ (la respuesta puede expresarse en términos de $a$ ) .

Encuentra el entero positivo más pequeño ${k}$ con las siguientes propiedades $:{}{}{}{}{}$ Si cada entero positivo se colorea arbitrariamente de rojo o azul e ${}{}{},$ puede haber ${}{}{}{}9$ enteros positivos rojos distintos $x_1,x_2,\cdots ,x_9,$ que satisfacen $$x_1+x_2+\cdots +x_8<x_9,$$ o hay $10{}{}{}{}{}{}$ enteros positivos azules distintos $y_1,y_2,\cdots ,y_{10}$ que satisfacen $${y_1+y_2+\cdots +y_9<y_{10}}.$$

Para algún entero positivo $n$ , $n$ se considera un número $\textbf{único}$ si para cualquier otro entero positivo $m\neq n$ , {$\dfrac{2^n}{n^2}$}$\neq{\dfrac{2^m}{m^2}}$ se cumple. Demuestra que hay una lista infinita que consta de números únicos compuestos cuyos elementos son coprimos por pares.

Sean $A,B$ dos puntos fijos en un plano y $\Omega$ un arco de semicírculo fijo con diámetro $AB$ . Sea $T$ otro punto fijo en $\Omega$ , y $\omega$ un círculo fijo que pasa por $A$ y $T$ y tiene su centro en $\Delta ABT$ . Sea $P$ un punto móvil en el arco $TB$ (extremos excluidos), y $C,D$ dos puntos móviles en $\omega$ tales que $C$ se encuentra en el segmento $AP$ , $C,D$ se encuentran en diferentes lados de la línea $AB$ y $CD\ \bot \ AB$ . Denotemos el circuncentro de $\Delta CDP$ de $K$ . Demuestra que (i) $K$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $\Delta TDP$ . (ii) $K$ es un punto fijo.

Encuentra el entero positivo más pequeño ${k}$ con las siguientes propiedades $:{}{}{}{}{}$ Si cada entero positivo se colorea arbitrariamente de rojo o azul e ${}{}{},$ puede haber ${}{}{}{}9$ enteros positivos rojos distintos $x_1,x_2,\cdots ,x_9,$ que satisfacen $$x_1+x_2+\cdots +x_8<x_9,$$ o hay $10{}{}{}{}{}{}$ enteros positivos azules distintos $y_1,y_2,\cdots ,y_{10}$ que satisfacen $${y_1+y_2+\cdots +y_9<y_{10}}.$$