2 jugadores A y B juegan el siguiente juego con A yendo primero: En el turno de cada jugador, él pone un número del 1 al 99 entre 99 puntos igualmente espaciados en un círculo (los números no pueden repetirse), y el jugador que completa 3 números consecutivos que forman una progresión aritmética alrededor del círculo gana el juego. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? Explica tu razonamiento.

Para $a_1 = 3$ , define la secuencia $a_1, a_2, a_3, \ldots$ para $n \geq 1$ como $$na_{n+1}=2(n+1)a_n-n-2.$$ Demuestra que para cualquier primo impar $p$ , existe un entero positivo $m,$ tal que $p|a_m$ y $p|a_{m+1}.$

Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. Sean $D$ y $E$ puntos en $AB$ y $AC$ tales que $DE$ es paralelo a $CH$. Si la circunferencia circunscrita del triángulo $BDH$ pasa por $M$, el punto medio de $DE$, entonces demuestre que $\angle ABM=\angle ACM$

Para $n(n\geq3)$ enteros positivos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ . Pon los números en un círculo. En cada operación, calcula la diferencia entre dos números adyacentes y toma su valor absoluto. Pon los $n$ números que obtenemos en otro círculo (no cambies su orden). Encuentra todos los $n$, satisfaciendo que no importa cómo se den $a_1,a_2,\cdots,a_n$, todos los números en el círculo son iguales después de operaciones limitadas.

$A,B,C,D,E$ están en $\odot O$ en ese orden, y $$BD \cap CE=F,CE \cap AD=G,AD \cap BE=H,BE \cap AC=I,AC \cap BD=J.$$ Demuestra que $\frac{FG}{CE}=\frac{GH}{DA}=\frac{HI}{BE}=\frac{IJ}{AC}=\frac{JF}{BD}$ cuando y solo cuando $F,G,H,I,J$ son concíclicos.

Sea $p$ un primo. Decimos que $p$ es bueno si y solo si para cualquier entero positivo $a,b,$ tal que $$a\equiv b (\textup{mod}p)\Leftrightarrow a^3\equiv b^3 (\textup{mod}p).$$ Demuestra que (1) Hay infinitos primos $p$ que son buenos ; (2) Hay infinitos primos $p$ que no son buenos .

Sean $a$, $b$, $c$ reales no negativos tales que $$a^2+b^2+c^2+ab+\frac{2}{3}ac+\frac{4}{3}bc=1$$ Encuentra el valor máximo y mínimo de $a+b+c$.

2 jugadores A y B juegan el siguiente juego con A yendo primero: En el turno de cada jugador, él pone un número del 1 al 99 entre 99 puntos igualmente espaciados en un círculo (los números no pueden repetirse), y el jugador que completa 3 números consecutivos que forman una progresión aritmética alrededor del círculo gana el juego. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? Explica tu razonamiento.

Si $a$, $b$, $c$ son reales positivos, demuestre que $$\frac{a+bc}{a+a^2}+\frac{b+ca}{b+b^2}+\frac{c+ab}{c+c^2} \geq 3$$

Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. Sean $D$ y $E$ puntos en $AB$ y $AC$ tales que $DE$ es paralelo a $CH$. Si la circunferencia circunscrita del triángulo $BDH$ pasa por $M$, el punto medio de $DE$, entonces demuestre que $\angle ABM=\angle ACM$