$P$ es un poliedro convexo tal que:\n(1) cada vértice pertenece exactamente a $3$ caras.\n(2) Para cada número natural $n$ , hay un número par de caras con $n$ vértices.\nUna hormiga camina a lo largo de los bordes de $P$ y forma un ciclo sin auto-intersecciones, que divide las caras de este poliedro en dos lados, de modo que para cada número natural $n$ , el número de caras con $n$ vértices en cada lado son los mismos. (asume que esto es posible)\nDemuestra que el número de veces que la hormiga gira a la izquierda es el mismo que el número de veces que la hormiga gira a la derecha.

En el triángulo acutángulo $ABC (AB>AC)$ , $M$ es el punto medio del arco menor $BC$ , $O$ es el circuncentro de $(ABC)$ y $AK$ es su diámetro. La línea paralela a $AM$ que pasa por $O$ se encuentra con el segmento $AB$ en $D$ , y $CA$ extendido en $E$ . Las líneas $BM$ y $CK$ se encuentran en $P$ , las líneas $BK$ y $CM$ se encuentran en $Q$ . Demuestra que $\angle OPB+\angle OEB =\angle OQC+\angle ODC$ .

Sea $n$ un entero positivo tal que hay exactamente 36 números primos diferentes que dividen a $n.$ Para $k=1,2,3,4,5,$ sea $c_n$ el número de enteros que son números primos entre sí con $n$ en el intervalo $[\frac{(k-1)n}{5},\frac{kn}{5}] .$ $c_1,c_2,c_3,c_4,c_5$ no son exactamente iguales. Demuestra que $$\sum_{1\le i<j\le 5}(c_i-c_j)^2\geq 2^{36}.$$

Sea $m>1$ un entero. Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ , tal que para cualesquiera enteros $a_1,a_2,\ldots ,a_n; b_1,b_2,\ldots ,b_n$ existen enteros $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ que satisfacen las siguientes dos condiciones:\ni) Existe $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$ tal que $x_i$ y $m$ son coprimos\nii) $\sum^n_{i=1} a_ix_i \equiv \sum^n_{i=1} b_ix_i \equiv 0 \pmod m$

Sea $\{ z_n \}_{n \ge 1}$ una secuencia de números complejos, cuyos términos impares son reales, los términos pares son puramente imaginarios, y para cada entero positivo $k$ , $|z_k z_{k+1}|=2^k$ . Denotemos $f_n=|z_1+z_2+\cdots+z_n|,$ para $n=1,2,\cdots$ \n(1) Encuentra el mínimo de $f_{2020}$ .\n(2) Encuentra el mínimo de $f_{2020} \cdot f_{2021}$ .

Demuestra que para cualquier entero $a \ge 2$ y entero positivo $n,$ existe un entero positivo $k$ tal que $a^k+1,a^k+2,\ldots,a^k+n$ son todos números compuestos.

Sea el conjunto $A=\{1,2,\ldots,n\} ,$ y $X,Y$ dos subconjuntos (no necesariamente distintos) de $A.$ Define que $\textup{max} X$ y $\textup{min} Y$ representan el elemento mayor de $X$ y el elemento menor de $Y,$ respectivamente. Determina el número de tuplas $(X,Y)$ que satisfacen $\textup{max} X>\textup{min} Y.$

En el triángulo $\triangle ABC, AB=AC.$ Sea $D$ en el segmento $AC$ y $E$ un punto en la línea extendida $BC$ tal que $C$ se encuentra entre $B$ y $E$ y $\frac{AD}{DC}=\frac{BC}{2CE}$ . Sea $\omega$ el círculo con diámetro $AB,$ y $\omega$ intersecta el segmento $DE$ en $F.$ Demuestra que $B,C,F,D$ son concíclicos.

Sean $a,b \in \mathbb R,f(x)=ax+b+\frac{9}{x}.$ Demuestra que existe $x_0 \in \left[1,9 \right],$ tal que $|f(x_0)| \ge 2.$

Define la secuencia $\{a_n\}$ : $a_1$ es cualquier entero positivo, y para cualquier entero positivo $n\ge 1$ , $a_{n+1}$ es el entero positivo más pequeño coprimo con $\sum_{i=1}^{n} a_i$ y no es igual a $a_1,\ldots, a_n$ . Demuestra que todo entero positivo aparece en la secuencia $\{a_n\}$ .