Sea n un entero positivo. Denotemos por S el conjunto de puntos (x, y) en el plano con coordenadas enteras tales que \(0 \le x, y \le n\). Supongamos que algunos de los puntos de S están coloreados de rojo de tal manera que si (x, y) es rojo, también lo son (0, y), (n, y), (x, 0) y (x, n). Demuestra que el número de rectángulos cuyos vértices están en S y cuyos vértices son todos rojos es divisible por 3.

Sea \(R^+\) el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones \(f: R^+ \rightarrow R^+\) tales que \( (f(x))^3 + (f(y))^3 = f(x^3 + y^3) \) para todos los x, y > 0.

Para cada entero positivo n, sea c(n) el número de representaciones de n como una suma de potencias distintas de 2, donde no se permiten potencias. Pruebe que para cualquier entero positivo n, \(c(4n) = c(4n+1)\) y \(c(4n+2) = c(4n+3)\).

Sea ABCD un cuadrilátero cíclico. Sea E la intersección de las líneas AB y CD, y sea F la intersección de las líneas AD y BC. Demuestra que las bisectrices de los ángulos \(\angle BEC\) y \(\angle AFC\) son perpendiculares.

Sea S un conjunto de enteros tal que (a) S contiene 2002 elementos, y (b) para cualesquiera a y b en S, a-b no es divisible por 2, 3 o 7. ¿Cuál es el tamaño más pequeño posible del elemento más grande en S?

$n$ es un entero positivo, $F_n=2^{2^{n}}+1$. Demuestre que para $n \geq 3$, existe un factor primo de $F_n$ que es mayor que $2^{n+2}(n+1)$.

En el triángulo acutángulo $ABC$, $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, y $a>b>c$. $I,O,H$ son el incentro, circuncentro y ortocentro del $\triangle{ABC}$ respectivamente. El punto $D \in BC$, $E \in CA$ y $AE=BD$, $CD+CE=AB$. Sea la intersección de $BE$ y $AD$ ser $K$. Pruebe que $KH \parallel IO$ y $KH = 2IO$.

Sean $b, m, n$ enteros positivos tales que $b > 1$ y $m \neq n.$ Demuestre que si $b^m - 1$ y $b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos, entonces $b + 1$ es una potencia de 2.

Encuentre el entero positivo más pequeño $n$ ($n\geq 3$), tal que entre $n$ puntos cualesquiera (no tres son colineales) en el plano, existen tres puntos que son los vértices de un triángulo no isósceles.

Dado un número primo $p$. $a_1,a_2 \cdots a_k$ ($k \geq 3$) son enteros no divisibles por $p$ y tienen diferentes residuos cuando se dividen por $p$. Sea $$ S_n= \{ n \mid 1 \leq n \leq p-1, (na_1)_p < \cdots < (na_k)_p \} $$ Aquí $(b)_p$ denota el residuo cuando el entero $b$ se divide por $p$. Demuestre que $|S|< \frac{2p}{k+1}$.