Dado un número primo $p$. $a_1,a_2 \cdots a_k$ ($k \geq 3$) son enteros no divisibles por $p$ y tienen diferentes residuos cuando se dividen por $p$. Sea $$ S_n= \{ n \mid 1 \leq n \leq p-1, (na_1)_p < \cdots < (na_k)_p \} $$ Aquí $(b)_p$ denota el residuo cuando el entero $b$ se divide por $p$. Demuestre que $|S|< \frac{2p}{k+1}$.