101 Dados dos triángulos acutángulos $ABC$ y $A'B'C'$ con los puntos $O$ y $O'$ en su interior. Se trazan tres pares de perpendiculares: $[OA_1]$ al lado $[BC]$, $[O'A'_1]$ al lado $[B'C']$, $[OB_1]$ al lado $[AC]$, $[O'B'_1]$ al lado $[A'C']$, $[OC_1]$ al lado $[AB]$, $[O'C'_1]$ al lado $[A'B']$; se sabe que $$[OA_1] \parallel [O'A'], [OB_1] \parallel [O'B'], [OC_1] \parallel [O'C']$$ y $$|OA_1|\cdot|O'A'| = |OB_1|\cdot |O'B'| = |OC_1|\cdot |O'C'|$$ Demuestre que $$[O'A'_1] \parallel [OA], [O'B'_1] \parallel [OB], [O'C'_1] \parallel [OC]$$ y $$|O'A'_1|\cdot|OA| = |O'B'_1|\cdot|OB| = |O'C'_1|\cdot|OC|$$

157 a) Considere la función $$f(x,y) = x^2 + xy + y^2$$. Demuestre que para todo punto $(x,y)$ existen enteros $(m,n)$ tales que $$f((x-m),(y-n)) \le 1/2$$. b) Denotemos con $g(x,y)$ el menor valor posible de $f((x-m),(y-n))$ para todos los enteros $m,n$. La afirmación a) era equivalente al hecho de que $g(x,y) \le 1/2$. Demuestre que, de hecho, $$g(x,y) \le 1/3$$. Encuentre todos los puntos $(x,y)$ donde $g(x,y)=1/3$. c) Considere la función $$f_a(x,y) = x^2 + axy + y^2 \,\,\, (0 \le a \le 2)$$. Encuentre cualquier $c$ tal que $g_a(x,y) \le c$. Intente obtener la estimación más cercana.

036 Dada una progresión aritmética infinita con términos enteros positivos. Uno de ellos es un cuadrado perfecto. Demuestre que la progresión contiene una cantidad infinita de cuadrados perfectos.

019 Dados cuatro números positivos $a,b,c,d$, y sabiendo que $abcd=1$, demuestre que $$a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+dc \ge 10$$

11 Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $(n^2 + 11n - 4) \cdot n! + 33 \cdot 13^n + 4$ sea un cuadrado perfecto

032 Dado un triángulo equilátero de lado $l$. ¿Cuál es la longitud mínima $d$ de un pincel (segmento) que pintará todo el triángulo, si sus extremos se mueven a lo largo de los lados del triángulo?

132 Los dígitos del número de $17$ dígitos se reordenan en orden inverso. Demuestre que al menos un dígito de la suma del nuevo número y el número inicial es par.

027 Dadas $5$ circunferencias, cada cuatro de ellas tienen un punto en común. Demuestre que existe un punto que pertenece a las cinco circunferencias.

028 Ocho hombres participaron en el torneo de ajedrez. (Cada uno se enfrenta a cada uno, se permiten empates, otorgando $1/2$ de punto, el ganador obtiene $1$). Todos tienen un número diferente de puntos. El segundo obtuvo tantos puntos como los cuatro participantes más débiles juntos. ¿Cuál fue el resultado de la partida entre el tercer clasificado y el ajedrecista que ocupó el séptimo lugar?

055 Sea $ABCD$ un trapecio tangencial, $E$ el punto de intersección de sus diagonales, y $r_1, r_2, r_3, r_4$ los radios de los círculos inscritos en los triángulos $ABE$, $BCE$, $CDE$ y $DAE$ respectivamente. Demuestre que $$1/(r_1)+1/(r_3) = 1/(r_2)+1/(r_4).$$