115 El punto $E$ se encuentra sobre la base $[AD]$ del trapecio $ABCD$. Los perímetros de los triángulos $ABE$, $BCE$ y $CDE$ son iguales. Demuestre que $|BC| = |AD|/2$.

154 a) El vértice $A_1$ del dodecágono regular $A_1A_2...A_{12}$ está marcado con " $-$ " y todos los demás con " $+$ ". Se permite cambiar simultáneamente el signo de $6$ vértices consecutivos. Demuestre que es imposible obtener un dodecágono con $A_2$ marcado con " $-$ " y el resto de los vértices con " $+$ ". b) Demuestre la misma afirmación si se permite cambiar los signos no en seis, sino en cuatro vértices consecutivos. c) Demuestre la misma afirmación si se permite cambiar los signos en tres vértices consecutivos.

036 Dada una progresión aritmética infinita con términos enteros positivos. Uno de ellos es un cuadrado perfecto. Demuestre que la progresión contiene una cantidad infinita de cuadrados perfectos.

037 Dado un polígono regular de $45$ lados. ¿Puede marcar sus vértices con los dígitos $\{0,1,...,9\}$ de tal manera que, para cada par de dígitos, exista un lado cuyos extremos estén marcados con dichos dígitos?

038 Encuentre los números reales $p, q, a, b$ tales que para todo $x$ se cumpla la igualdad: $$(2x-1)^{20} - (ax+b)^{20} = (x^2+px+q)^{10}$$

035 Dado un triángulo $ABC$. Construimos dos bisectrices en los ángulos $A$ y $B$. Luego, construimos dos rectas paralelas a estas que pasan por el punto $C$. $D$ y $E$ son las intersecciones de dichas rectas con las bisectrices. Sucede que la recta $(DE)$ es paralela a $(AB)$. Demuestre que el triángulo es isósceles.

138 Dado el triángulo $ABC$, sea $M$ el punto medio del lado $[BC]$ y $O$ el centro del círculo inscrito. La recta $(MO)$ corta a la altura $AH$ en el punto $E$. Demuestre que la distancia $|AE|$ es igual al radio del círculo inscrito.

026 Dados números positivos $a_1, a_2, ..., a_m, b_1, b_2, ..., b_n$. Se sabe que $$a_1+a_2+...+a_m=b_1+b_2+...+b_n.$$ Demuestre que se puede llenar una tabla vacía de $m$ filas y $n$ columnas con no más de $(m+n-1)$ números positivos de tal manera que, para todo $i,j$, la suma de los números en la $i$-ésima fila sea igual a $a_i$, y la suma de los números en la $j$-ésima columna sea igual a $b_j$.

033 Un tablero de ajedrez de $6\times 6$ está recubierto con dominós de $2\times 1$. Demuestre que se puede cortar el tablero en dos partes mediante una línea recta que no corte ningún dominó.

030 Sean $a$ y $b$ números naturales primos entre sí. Demuestre que el máximo común divisor de $(a+b)$ y $(a^2+b^2)$ es $1$ o $2$.