027 Dadas $5$ circunferencias, cada cuatro de ellas tienen un punto en común. Demuestre que existe un punto que pertenece a las cinco circunferencias.

135 La bisectriz $[AD]$, la mediana $[BM]$ y la altura $[CH]$ del triángulo acutángulo $ABC$ se intersecan en un punto. Demuestre que $\angle BAC > 45^o$.

134 Dados cinco segmentos. Es posible construir un triángulo con cada subconjunto de tres de ellos. Demuestre que al menos uno de esos triángulos es acutángulo.

157 a) Considere la función $$f(x,y) = x^2 + xy + y^2$$. Demuestre que para todo punto $(x,y)$ existen enteros $(m,n)$ tales que $$f((x-m),(y-n)) \le 1/2$$. b) Denotemos con $g(x,y)$ el menor valor posible de $f((x-m),(y-n))$ para todos los enteros $m,n$. La afirmación a) era equivalente al hecho de que $g(x,y) \le 1/2$. Demuestre que, de hecho, $$g(x,y) \le 1/3$$. Encuentre todos los puntos $(x,y)$ donde $g(x,y)=1/3$. c) Considere la función $$f_a(x,y) = x^2 + axy + y^2 \,\,\, (0 \le a \le 2)$$. Encuentre cualquier $c$ tal que $g_a(x,y) \le c$. Intente obtener la estimación más cercana.

130 El producto de tres números positivos es igual a uno, su suma es estrictamente mayor que la suma de sus inversos. Demuestre que uno y solo uno de ellos es mayor que uno.

033 Un tablero de ajedrez de $6\times 6$ está recubierto con dominós de $2\times 1$. Demuestre que se puede cortar el tablero en dos partes mediante una línea recta que no corte ningún dominó.

132 Los dígitos del número de $17$ dígitos se reordenan en orden inverso. Demuestre que al menos un dígito de la suma del nuevo número y el número inicial es par.

053 Debemos dividir un cubo en $k$ tetraedros que no se solapen. ¿Para qué valor mínimo de $k$ es posible?

051 Dados los números naturales $a,b,n$. Se sabe que para todo número natural $k$ ($k\ne b$), el número $a-k^n$ es divisible por $b-k$. Demuestre que $$a=b^n$$

054 Encuentre el cuadrado perfecto más pequeño con su última cifra distinta de $0$, tal que al eliminar sus dos últimas cifras se obtenga otro cuadrado perfecto.