$ABC$ es un triángulo obtuso. (el ángulo $B$ es obtuso) Su circuncírculo es $O$ . Una línea tangente a $O$ que pasa por $C$ se encuentra con $AB$ en $B_1$ . Sea $O_1$ el circuncentro del triángulo $AB_1C$ . $B_2$ es un punto en el segmento $BB_1$ . Sea $C_1$ un punto de contacto de la línea tangente a $O$ que pasa por $B_2$ , que está más cerca de $C$ . Sea $O_2$ un circuncentro del triángulo $AB_2C_1$ . Demuestra que si $OO_2$ y $AO_1$ son perpendiculares, entonces los cinco puntos $O,O_2,O_1,C_1,C$ son concíclicos.

Sean $a,b,c$ las longitudes de los tres lados de un triángulo. Sea $A= \frac{a^2 +bc}{b+c}+\frac{b^2 +ca}{c+a}+\frac{c^2 +ab}{a+b}$ , $B=\frac{1}{\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)}}+\frac{1}{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)}}$ $+\frac{1}{\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}}$ . Demuestra que $AB \ge 9$ .

Hay un $\triangle ABC$ donde $\angle C=90$ , y $\bar{AB}=36$ En la circunferencia de $\triangle ABC$ , hay un $\overarc{BC}$ que no incluye el punto $A$ . D está en $\overarc{BC}$ . Satisface $2\times\angle CAD = \angle BAD $ $E: \bar{AD}\cap\bar{BC} $ $ \bar{AE}=20 $ Encuentra $ \bar{BD}^2 $

Para todos los enteros $ {a}_{0},{a}_{1}, \cdot\cdot\cdot {a}_{100}$ , encuentra el máximo de ${a}_{5}-2{a}_{40}+3{a}_{60}-4{a}_{95} $ $\bigstar$ 1) ${a}_{0}={a}_{100}=0$ 2) para todo $i=0,1,\cdot \cdot \cdot 99, $ $|{a}_{i+1}-{a}_{i}|\le1$ 3) $ {a}_{10}={a}_{90} $

Como se muestra en la siguiente figura, hay un segmento de línea que consta de cinco segmentos de línea $AB, BC, CD, DE, y EA$ y $10$ puntos de intersección de estos cinco segmentos de línea. Encuentra el número de formas de escribir $1$ o $2$ en cada uno de los $10$ vértices para que se cumplan las siguientes condiciones. $\bigstar$ La suma de los cuatro números escritos en cada segmento de línea $AB, BC, CD, DE, y EA$ es la misma.

Encuentra el número de $n$ que siguen lo siguiente: $ \bigstar $ El número de enteros $ (x,y,z) $ que siguen esta ecuación no es un múltiplo de 4. $ 2n=x^2+2y^2+2x^2+2xy+2yz $

Hay un trapecio equilátero $ ABCD. $ $ \bar{AB} =60, \bar{BC}=\bar{DA}= 36, \bar{CD}=108. $ $ M $ es el punto medio de $ \bar {AB} $ , y el punto $P$ en $ \bar{AM} $ sigue que $ \bar {AP} $ =10. El pie de la perpendicular bajada desde $P$ a $ \bar {BD} $ es $E$ . $ \bar{AC} \cap \bar{BD} $ es $ F $ . El punto $X$ está en $ \bar {AF} $ que sigue $ \bar{MX}=\bar{ME} $ Encuentra $ \bar{AX} \times \bar{AF} $

En la siguiente ilustración, comenzando desde el punto X, nos movemos un cuadrado a lo largo del segmento hasta que llegamos al punto Y. Calcula el número de veces que un punto ha pasado una vez y no vuelve a pasar, de X a Y. (Sin embargo, se considera que el punto de partida X ha pasado.)

Encuentra el número de enteros positivos $x$ que tiene $ {a}_{1},{a}_{2},\cdot \cdot \cdot {a}_{20} $ que sigue lo siguiente ( $x \ge 1000$ ) 1) $ {a}_{1}=2, {a}_{2}=1, {a}_{3}=x $ 2) para entero positivo $n$ , ( $ 4 \le n \le 20 $ ) , $ {a}_{n}={a}_{n-3}+\frac{(-2)^n}{{a}_{n-1}{a}_{n-2}} $

Encuentra el número de enteros positivos n, que sigue lo siguiente $ \bigstar $ $ n=[\frac{m^3}{2024}] $ $n$ tiene un entero positivo $m$ que sigue esta ecuación ( $ m \le 1000$ )