Para un número primo impar dado $p$, define $f(n)$ el resto de $d$ dividido por $p$, donde $d$ es el divisor más grande de $n$ que no es múltiplo de $p$. Por ejemplo, cuando $p=5$, $f(6)=1, f(35)=2, f(75)=3$. Define la secuencia $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ de enteros como sigue:\n$a_1=1$\n$a_{n+1}=a_n+(-1)^{f(n)+1}$ para todos los enteros positivos $n$.\nDetermina todos los enteros $m$, tales que existen infinitos enteros positivos $k$ tales que $m=a_k$.

Para un entero positivo $n \ge 3$, encuentra el número de pares ordenados $(a_1, a_2, ... , a_n)$ de enteros que satisfacen las siguientes dos condiciones\nPara entero positivo $i$ tal que $1\le i \le n$, $1 \le a_i \le i$\nPara enteros positivos $i,j,k$ tales que $1\le i < j < k \le n$, si $a_i = a_j$ entonces $a_j \ge a_k$

El círculo inscrito de un triángulo acutángulo $ABC$ se encuentra con los segmentos $AB$ y $BC$ en $D$ y $E$ respectivamente. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Demuestra que la intersección de la línea $AI$ y $DE$ está en el círculo cuyo diámetro es $AC$ (pasando por A, C).

Sea $ABC$ un triángulo obtuso con $\angle A > \angle B > \angle C$, y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $D$ un punto en el arco $AB$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ que no contiene a $C$. Suponga que el círculo tangente a $BD$ en $D$ y que pasa por $A$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABM$ nuevamente en $E$ y $\overline{BD}=\overline{BE}$ . $\omega$, la circunferencia circunscrita del triángulo $ADE$, se encuentra con $EM$ nuevamente en $F$. Pruebe que las líneas $BD$ y $AE$ se encuentran en la línea tangente a $\omega$ en $F$.

Una secuencia de números reales $a_1, \cdots ,a_{2021}$ satisface las siguientes condiciones.\n$$a_1=1, a_2=2, a_{n+2}=\frac{2a_{n+1}^2}{a_n+a_{n+1}} (1\leq n \leq 2019)$$\nSea el mínimo de $a_1, \cdots ,a_{2021}$ sea $m$, y el máximo de $a_1, \cdots ,a_{2021}$ sea $M$.\nSea un polinomio de grado 2021\n$$P(x):=(x-a_1)(x-a_2) \cdots (x-a_{2021})$$\n$|P(x)|$ es máximo en $[m, M]$ cuando $x=\alpha$ .\nDemuestre que $1<\alpha <2$ .

Para un entero positivo $n$, hay dos países $A$ y $B$ con $n$ aeropuertos cada uno y $n^2-2n+ 2$ aerolíneas que operan entre los dos países. Cada aerolínea opera al menos un vuelo. Exactamente un vuelo de una de las aerolíneas opera entre cada aeropuerto en $A$ y cada aeropuerto en $B$, y ese vuelo opera en ambas direcciones. Además, no hay vuelos entre dos aeropuertos en el mismo país.\nPara dos aeropuertos diferentes $P$ y $Q$, denote por ' $(P, Q)$ - ruta de viaje ' la lista de aeropuertos $T_0, T_1, \ldots, T_s$ que satisfacen las siguientes condiciones.\n$T_0=P,\ T_s=Q$\n$T_0, T_1, \ldots, T_s$ son todos distintos.\nExiste una aerolínea que opera entre los aeropuertos $T_i$ y $T_{i+1}$ para todo $i = 0, 1, \ldots, s-1$ .\nDemuestre que existen dos aeropuertos $P, Q$ tales que no hay o exactamente una $(P, Q)$ - ruta de viaje .

Demuestre que para cualquier entero positivo $k$ y $1 \leq a \leq 9$, existe $n$ tal que satisface la siguiente declaración.\nCuando $2^n=a_0+10a_1+10^2a_2+ \cdots +10^ia_i+ \cdots $\n$(0 \leq a_i \leq 9$ y $a_i$ es entero), $a_k$ es igual a $a$.

Para enteros positivos $n, k, r$, denote por $A(n, k, r)$ el número de tuplas de enteros $(x_1, x_2, \ldots, x_k)$ que satisfacen las siguientes condiciones.\n$x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_k \ge 0$\n$x_1+x_2+ \cdots +x_k = n$\n$x_1-x_k \le r$\nPara todos los enteros positivos $m, s, t$, pruebe que\n$$A(m, s, t)=A(m, t, s).$$

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $D$ la intersección de la bisectriz del ángulo $A$ y el lado $BC$. Sea $\Omega$ un círculo tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y al lado $BC$ en $A$ y $D$, respectivamente. $\Omega$ se encuentra con los lados $AB, AC$ nuevamente en $E, F$, respectivamente. La línea perpendicular a $AD$, que pasa por $E, F$ se encuentra con $\Omega$ nuevamente en $G, H$, respectivamente. Suponga que $AE$ y $GD$ se encuentran en $P$, $EH$ y $GF$ se encuentran en $Q$, y $HD$ y $AF$ se encuentran en $R$. Pruebe que $\dfrac{\overline{QF}}{\overline{QG}}=\dfrac{\overline{HR}}{\overline{PG}}$ .

Se da un entero positivo $n$. Si existen conjuntos $F_1, F_2, \cdots F_m$ que satisfacen lo siguiente, demostrar que $m \le n$. (Para conjuntos $A, B$, $|A|$ es el número de elementos en $A$. $A-B$ es el conjunto de elementos que están en $A$ pero no en $B$) (i): Para todo $1 \le i \le m$, $F_i \subseteq \{1,2,\cdots n\}$ (ii): $|F_1| \le |F_2| \le \cdots \le |F_m|$ (iii): Para todo $1 \le i < j \le m$, $|F_i-F_j|=1$.