$ x, y, z $ son números reales positivos tales que $ x+y+z=1 $ . Demostrar que \[ \sqrt{ \frac{x}{1-x} } + \sqrt{ \frac{y}{1-y} } + \sqrt{ \frac{z}{1-z} } > 2 \]

Hay $ n ( \ge 4 ) $ personas y algunas personas se dan la mano entre sí. Dos personas pueden darse la mano como máximo 1 vez. Para cuatro personas arbitrarias $ A, B, C, D$ tales que $ (A,B), (B,C), (C,D) $ se dieron la mano, entonces uno de $ (A,C), (A,D), (B,D) $ se dio la mano entre sí. Demostrar las siguientes afirmaciones. (a) Demostrar que $ n $ personas se pueden dividir en dos grupos, $ X, Y ( \ne \emptyset )$ , tales que para todo $ (x,y) $ donde $ x \in X $ e $ y \in Y $ , $ x $ e $ y $ se dieron la mano o $ x $ e $ y $ no se dieron la mano. (b) Existe dos personas $ A , B $ tales que el conjunto de personas que no son $ A $ y $ B $ que se dieron la mano con $ A $ es el mismo que el conjunto de personas que no son $ A $ y $ B $ que se dieron la mano con $ B $ .

Sea $ I $ el incentro del triángulo $ ABC $ . La circunferencia inscrita toca a $ BC, CA, AB$ en los puntos $ P, Q, R $ . Una circunferencia que pasa por $ B , C $ es tangente a la circunferencia $I$ en el punto $ X $ , una circunferencia que pasa por $ C , A $ es tangente a la circunferencia $I$ en el punto $ Y $ , y una circunferencia que pasa por $ A , B $ es tangente a la circunferencia $I$ en el punto $ Z $ , respectivamente. Demostrar que las tres líneas $ PX, QY, RZ $ son concurrentes.

Sean $ a, b, c $ números reales positivos tales que $ ab+bc+ca=1 $ . Demostrar que \[ \sqrt{ a^2 + b^2 + \frac{1}{c^2}} + \sqrt{ b^2 + c^2 + \frac{1}{a^2}} + \sqrt{ c^2 + a^2 + \frac{1}{b^2}} \ge \sqrt{33} \]

Demostrar que $ 7^{2^{20}} + 7^{2^{19}} + 1 $ tiene al menos $ 21 $ divisores primos distintos.

Encuentra todos los pares $(x, y)$ de números racionales tales que $$xy^2=x^2+2x-3$$

Considera $n$ cartas con números marcados del $1$ al $n$. Ningún número se repite, es decir, cada número está marcado exactamente en una carta. Se distribuyen en $n$ cajas de manera que cada caja contiene exactamente una carta inicialmente. Queremos mover todas las cartas a una sola caja todas juntas de acuerdo con las siguientes instrucciones\nLa instrucción: Elige un entero $k(1\le k\le n)$, y mueve una carta con el número $k$ a la otra caja de manera que la suma del número de la carta en esa caja sea múltiplo de $k$.\nEncuentra todos los enteros positivos $n$ de modo que exista una forma de reunir todas las cartas en una caja.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $\overline{AB}=\overline{AC}$. Sea $D(\neq A, C)$ un punto en el lado $AC$, y el círculo $\Omega$ es tangente a $BD$ en el punto $E$, y $AC$ en el punto $C$. Denotemos por $F(\neq E)$ la intersección de la línea $AE$ y el círculo $\Omega$, y $G(\neq a)$ la intersección de la línea $AC$ y el circuncírculo del triángulo $ABF$. Demuestra que los puntos $D, E, F,$ y $G$ son concíclicos.

Una secuencia de números reales $a_1, a_2, \ldots $ satisface las siguientes condiciones.\n$a_1 = 2$ , $a_2 = 11$ .\npara todo entero positivo $n$ , $2a_{n+2} =3a_n + \sqrt{5 (a_n^2+a_{n+1}^2)}$\nDemuestra que $a_n$ es un número racional para cada entero positivo $n$.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ tales que para todos los enteros positivos $x$ e $y$, $\frac{f(x+y)-f(x)}{f(y)}$ es de nuevo un entero positivo que no excede $2022^{2022}$.