Hay $2025$ enteros positivos $a_1, a_2, \cdots, a_{2025}$ colocados alrededor de un círculo. Para cualquier $k = 1, 2, \cdots, 2025$ , $a_k \mid a_{k-1} + a_{k+1}$ donde los índices se consideran módulo $n$ . Demuestre que existe un entero positivo $N$ que satisface la siguiente condición. (Condición) Para cualquier entero positivo $n > N$ , cuando $a_1 = n^n$ , $a_1, a_2, \cdots, a_{2025}$ son todos múltiplos de $n$ .

Hay $n$ líneas paralelas en un plano, y hay un conjunto $S$ de puntos distintos. Cada punto en $S$ se encuentra en una de las $n$ líneas y está coloreado de rojo o azul. Determine el valor mínimo de $n$ tal que si $S$ satisface la siguiente condición, se garantiza que hay infinitos puntos rojos e infinitos puntos azules. Cada línea contiene al menos un punto rojo y al menos un punto azul de $S$ . Considere un triángulo formado por tres elementos de $S$ ubicados en tres líneas distintas. Si dos de los vértices del triángulo son rojos, debe existir un punto azul, que no sea uno de los vértices, ya sea dentro o en el límite del triángulo. De manera similar, si dos de los vértices son azules, debe existir un punto rojo, que no sea uno de los vértices, ya sea dentro o en el límite del triángulo.

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , $\angle ABC = \angle CDA$ . Sea $X \neq C$ la intersección de la circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ y el círculo con diámetro $AC$ . Demuestre que la tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ en $X$ , la tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABD$ en $A$ concurren en $BD$ .

Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ con centro $O$ , y el círculo inmixtilíneo $A$ es tangente a $AB, AC, \omega$ en $D,E,T$ respectivamente. $P$ es la intersección de $TO$ y $DE$ y $X$ es la intersección de $AP$ y $\omega$ . Demuestre que el conjugado isogonal de $P$ se encuentra en la línea que pasa por el punto medio de $BC$ y $X$ .

n asistentes parten simultáneamente desde un vértice de un planeta en forma de cubo con una longitud de arista de 1. Cada asistente se mueve a lo largo de las aristas del cubo a una velocidad constante de $2, 4, 8, \cdots, 2^n$ , y solo puede cambiar su dirección en los vértices del cubo. Los asistentes pueden cruzarse entre sí en los vértices, pero si colisionan en cualquier punto que no sea un vértice, explotarán. Determine el valor máximo posible de $n$ tal que los asistentes puedan moverse indefinidamente sin colisiones.

Sean $P$ y $Q$ polinomios mónicos con coeficientes enteros no constantes, y sean $a$ y $b$ enteros que satisfacen $| a | \geq 3$ y $ | b | \geq 3$ . Estos satisfacen las siguientes condiciones para todos los enteros positivos $n$ : $$P(n) \mid Q(n)^2 + aQ(n) + 1, \quad Q(n) \mid P(n)^2 + bP(n) + 1.$$ Determine todos los pares ordenados posibles $(a+b, \deg P)$ .

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ tales que para cualquier real positivo $x,y$ , $$f(xy+f(xy)) = xf(y) + yf(x)$$

Un primo $p$ se llama Primo del Año si existe un entero positivo $n$ tal que $n^2+ 1 \equiv 0$ ( $mod p^{2007}$ ) . Demuestra que hay un número infinito de Primos del Año .

Sea la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ que se encuentra con $BC,CA,AB$ en $J,K,L$ . Sean $D(\ne B, J),E(\ne C,K), F(\ne A,L)$ puntos en $BJ,CK,AL$ . Si el incentro de $\triangle ABC$ es el circuncentro de $\triangle DEF$ y $\angle BAC = \angle DEF$ , demuestra que $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son triángulos isósceles.

Sea $T = \{1,2,...,10\}$ . Encuentra el número de funciones biyectivas $f : T\to T$ que satisfacen lo siguiente para toda $x \in T$ : $f(f(x)) = x$ $|f(x) - x| \ge 2$