Una matriz real simétrica $2018\times 2018$, $A=(a_{ij})$ satisface $|a_{ij}-2018|\leq 1$ para todo $1\leq i,j\leq 2018$ . Denote el mayor valor propio de $A$ por $\lambda(A)$ . Encuentre el valor máximo y mínimo de $\lambda(A)$ .

$n\geq 2$ es un entero dado. Para dos permutaciones $(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ y $(\beta_1,\cdots,\beta_n)$ de $1,\cdots,n$ , considere la matriz $n\times n$, $A= \left(a_{ij} \right)_{1\leq i,j\leq n}$ definida por $a_{ij} = (1+\alpha_i \beta_j )^{n-1}$ . Encuentre todo valor posible de $\det(A)$ .

$\Phi$ es una función definida en la colección de subconjuntos medibles acotados de $\mathbb{R}$ definida como $$\Phi(S) = \iint_S (1-5x^2 + 4xy-5y^2 ) dx dy$$ Encuentre el valor máximo de $\Phi$ .

Suponga que una matriz real $n\times n$, $A$, satisface $\text{tr}(A)=2018$ , $\text{rank}(A)=1$ . Demuestre que $A^2=2018 A$ .

Dado el vector $\mathbf{u}=\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)\in\mathbb{R}^3$ y la secuencia de vectores definida recursivamente $\{\mathbf{v}_n\}_{n\geq 0}$ $$\mathbf{v}_0 = (1,2,3),\quad \mathbf{v}_n = \mathbf{u}\times\mathbf{v}_{n-1}$$ Evalúe el valor de la serie infinita $\sum_{n=1}^\infty (3,2,1)\cdot \mathbf{v}_{2n}$ .

Para enteros positivos fijos $s, t$, define $a_n$ como lo siguiente.\n$a_1 = s, a_2 = t$, y $\forall n \ge 1$, $a_{n+2} = \lfloor \sqrt{a_n+(n+2)a_{n+1}+2008} \rfloor$. Demuestra que el conjunto de soluciones de $a_n \not= n$, $n \in \mathbb{N}$ es finito.

Demuestra que la única función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface lo siguiente es $f(x)=x$.\n(i) $\forall x \not= 0$, $f(x) = x^2f(\frac{1}{x})$.\n(ii) $\forall x, y$, $f(x+y) = f(x)+f(y)$.\n(iii) $f(1)=1$.

Sea $ABCD$ inscrito en un círculo $\omega$. Sea la línea paralela a la tangente a $\omega$ en $A$ y que pasa por $D$ que se encuentra con $\omega$ en $E$. $F$ es un punto en $\omega$ tal que se encuentra en el lado diferente de $E$ con respecto a $CD$. Si $AE \cdot AD \cdot CF = BE \cdot BC \cdot DF$ y $\angle CFD = 2\angle AFB$, Demuestra que la tangente a $\omega$ en $A, B$ y la línea $EF$ concurren en un punto. ($A$ y $E$ se encuentran en el mismo lado de $CD$)

Sea $p$ un primo donde $p \ge 5$. Demuestra que $\exists n$ tal que $1+ (\sum_{i=2}^n \frac{1}{i^2})(\prod_{i=2}^n i^2) \equiv 0 \pmod p$

Definimos $A, B, C$ como una partición de $\mathbb{N}$ si $A,B,C$ satisface lo siguiente.\n(i) $A, B, C \not= \phi$\n(ii) $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \phi$\n(iii) $A \cup B \cup C = \mathbb{N}$.\nDemuestra que la partición de $\mathbb{N}$ que satisface lo siguiente no existe.\n(i) $\forall$ $a \in A, b \in B$, tenemos $a+b+2008 \in C$\n(ii) $\forall$ $b \in B, c \in C$, tenemos $b+c+2008 \in A$\n(iii) $\forall$ $c \in C, a \in A$, tenemos $c+a+2008 \in B$