Encuentra el entero positivo más pequeño $N$ tal que no haya conjuntos diferentes $A, B$ que satisfagan las siguientes condiciones. (Aquí, $N$ no es una potencia de $2$ . Es decir, $N \neq 1, 2^1, 2^2, \dots$ . ) $A, B \subseteq \{1, 2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^{2023}\} \cup \{ N \}$ $|A| = |B| \geq 1$ La suma de los elementos en $A$ y la suma de los elementos en $B$ son iguales.

Encuentra el valor máximo del número real $A$ tal que $$3x^2 + y^2 + 1 \geq A(x^2 + xy + x)$$ para todos los enteros positivos $x, y.$

Para un entero positivo $n(\geq 5)$ , hay $n$ piedras blancas y $n$ piedras negras (total $2n$ piedras) alineadas en una fila. Las primeras $n$ piedras desde la izquierda son blancas, y las siguientes $n$ piedras son negras. $$\underbrace{\Circle \Circle \cdots \Circle}_n \underbrace{\CIRCLE \CIRCLE \cdots \CIRCLE}_n $$ Puedes intercambiar las piedras repitiendo la siguiente operación. (Operación) Elige un entero positivo $k (\leq 2n - 5)$ , e intercambia la $k$ - ésima piedra y la $(k+5)$ - ésima piedra desde la izquierda. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que podamos hacer que las primeras $n$ piedras sean negras y las siguientes $n$ piedras sean blancas en un número finito de operaciones.

$2023$ jugadores participaron en un torneo de tenis, y cada dos jugadores jugaron exactamente un partido. No hubo empate en ningún partido, y ningún jugador ganó a todos los demás jugadores. Si un jugador $A$ satisface la siguiente condición, sea $A$ un 'jugador hábil'. (Condición) Para cada jugador $B$ que le ganó a $A$ , existe un jugador $C$ que le ganó a $B$ y perdió contra $A$ . Resultó que hay exactamente $N(\geq 0)$ jugadores hábiles. Encuentra el valor mínimo de $N$ .

Los enteros positivos $a_1, a_2, \dots, a_{2023}$ satisfacen las siguientes condiciones. $a_1 = 5, a_2 = 25$ $a_{n + 2} = 7a_{n+1}-a_n-6$ para cada $n = 1, 2, \dots, 2021$ Demuestra que existen enteros $x, y$ tales que $a_{2023} = x^2 + y^2.$

El cuadrilátero $ABCD$ $(\overline{AD} < \overline{BC})$ está inscrito en un círculo, y $H(\neq A, B)$ es un punto en el segmento $AB.$ El circuncírculo del triángulo $BCH$ se encuentra con $BD$ en $E(\neq B)$ y la línea $HE$ se encuentra con $AD$ en $F$ . El círculo pasa por $C$ y es tangente a la línea $BD$ en $E$ se encuentra con $EF$ en $G(\neq E).$ Demuestra que $\angle DFG = \angle FCG.$

Encuentra todos los pares de enteros $(x, y)$ tales que $$y^2 = x^3 + 2x^2 + 2x + 1.$$

Suponga que una secuencia de reales $\{a_n\}_{n\geq 0}$ satisface $a_0 = 0$ , $\frac{100}{101} <a_{100}<1$ , y $$2a_n - a_{n-1} -a_{n+1} \leq 2 (1-a_n )^3$$ para todo $n\geq 1$ . (1) Defina una secuencia $b_n = a_n - \frac{n}{n+1}$ . Pruebe que $b_n\leq b_{n+1}$ para todo $n\geq 100$ . (2) Determine si la serie infinita $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^2}$ converge o diverge.

Suponga que una matriz $3\times 3$, $A$, satisface $\mathbf{v}^t A \mathbf{v} > 0$ para cualquier vector $\mathbf{v} \in\mathbb{R}^3 -\{0\}$ . (Note que $A$ puede no ser una matriz simétrica.) (1) Pruebe que $\det(A)>0$ . (2) Considere la matriz diagonal $D=\text{diag}(-1,1,1)$ . Pruebe que hay exactamente un real negativo entre los valores propios de $AD$ .

Suponga que una función continua $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ es diferenciable en $(0,1)$ y $f(0)=1$ , $f(1)=0$ . Entonces, existe $0<x_0<1$ tal que $$|f'(x_0)| \geq 2018 f(x_0)^{2018}$$