Sean $ a, b, c>0 $ tales que $ ab+bc+ca=3 $. Demuestra que \[ \sum_{cyc} { \frac{ (a+b)^{3} }{ {(2(a+b)(a^2 + b^2))}^{\frac{1}{3}}} \ge 12 }\]

Sea $P$ un punto en el segmento $BC$. $Q, R$ son puntos en $AC, AB$ tales que $PQ \parallel AB$ y $PR \parallel AC$. $O, O_{1}, O_{2}$ son los circuncentros de los triángulos $ABC, BPR, PCQ$. Las circunferencias circunscritas de $BPR, PCQ$ se intersecan en el punto $K (\ne P)$. Demuestra que $OO_{1} = KO_{2}$.

En una isla hay $n$ castillos, y cada castillo está en el país $A$ o $B$ . Hay un comandante por castillo, y cada comandante pertenece al mismo país que el castillo en el que se encuentra inicialmente. Hay algunos caminos (de dos vías) entre los castillos (puede haber caminos entre castillos de diferentes países), y llame a dos castillos adyacentes si hay un camino entre ellos. Demuestre que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes: (1) Si algunos comandantes del país $B$ se mueven para atacar un castillo adyacente en el país $A$ , algunos comandantes del país $A$ podrían moverse apropiadamente en defensa a castillos adyacentes en el país $A$ para que en cada castillo del país $A$ , el número de comandantes del país $A$ que defienden ese castillo no sea menor que el número de comandantes del país $B$ que atacan ese castillo. (Cada comandante puede defender o atacar solo un castillo a la vez). (2) Para cualquier conjunto arbitrario $X$ de castillos en el país $A$ , el número de castillos del país $A$ que están en $X$ o son adyacentes a al menos uno de los castillos en $X$ no es menor que el número de castillos del país $B$ que son adyacentes a al menos uno de los castillos en $X$ .

Sea $p>5$ un primo. Suponga que existe un entero $k$ tal que $ k^2 + 5 $ es divisible por $p$ . Demuestre que existen dos enteros positivos $m,n$ que satisfacen $ p^2 = m^2 + 5n^2 $ .

Sea $ ABC $ un triángulo isósceles con $ AC=BC$ . Sea $ D $ un punto en una línea $ BA $ tal que $ A $ se encuentra entre $ B, D $ . Sea $O_1 $ la circunferencia circunscrita del triángulo $ DAC $ . $ O_1 $ interseca a $ BC $ en el punto $ E $ . Sea $ F $ el punto en $ BC $ tal que $ FD $ es tangente al círculo $O_1 $ , y sea $O_2 $ la circunferencia circunscrita de $ DBF$ . Dos círculos $O_1 , O_2 $ se intersecan en el punto $ G ( \ne D) $ . Sea $ O $ el circuncentro del triángulo $ BEG$ . Demuestre que la línea $FG$ es tangente al círculo $O$ si y solo si $ DG \bot FO$ .

Hay $n$ estudiantes sentados en una mesa redonda. Recoge todas las $ n $ etiquetas de nombre y las devuelve arbitrariamente. Cada estudiante recibe una de las $n$ etiquetas de nombre. Ahora $n$ estudiantes repiten la siguiente operación: Los estudiantes que tienen sus propias etiquetas de nombre salen de la mesa. Los otros estudiantes dan sus etiquetas de nombre al estudiante que está sentado a su derecha. Encuentre el número de formas de dar etiquetas de nombre tales que exista un estudiante que no salga de la mesa después de 4 operaciones.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $ AC = BC > AB$ . Sean $ E, F $ los puntos medios de los segmentos $ AC, AB$ , y sea $l$ la bisectriz perpendicular de $AC$ . Sea $ l $ interseca a $ AB$ en $K$ , la recta que pasa por $B$ paralela a $KC$ interseca a $AC$ en el punto $L$ , y la recta $FL$ interseca a $ l$ en $W$ . Sea $ P $ un punto en el segmento $BF$ . Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ACP$ y las rectas $BH$ y $CP$ se intersecan en el punto $J$ . La recta $FJ$ interseca a $l$ en $M$ . Demuestre que $ AW = PW $ si y solo si $B$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $EFM$ .

Suponga que $x$ , $y$ , $z$ son números positivos tales que $x+y+z=1$ . Demuestre que \[ \n\frac{(1+xy+yz+zx)(1+3x^3 + 3y^3 + 3z^3)}{9(x+y)(y+z)(z+x)} \n\ge \n\left( \frac{x \sqrt{1+x} }{\sqrt[4]{3+9x^2}} + \frac{y \sqrt{1+y} }{\sqrt[4]{3+9y^2}} + \frac{z \sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}} \n\right)^2. \]

Un grupo de 6 estudiantes decidió formar grupos de estudio y grupos de actividades de servicio de acuerdo con el siguiente principio: cada grupo debe tener exactamente 3 miembros. Para cualquier par de estudiantes, hay la misma cantidad de grupos de estudio y grupos de actividades de servicio de los que ambos estudiantes son miembros. Suponiendo que hay al menos un grupo y que no hay tres estudiantes que pertenezcan al mismo grupo de estudio y grupo de actividades de servicio, encuentre el número mínimo de grupos.

Para un entero positivo $n$ , sea $f(n)$ el número de factores de $n^2+n+1$ . Demuestre que hay infinitos enteros $n$ que satisfacen $f(n) \geq f(n+1)$ .