A cada uno de los vértices de un polígono de $2n$ lados se le asigna un número entero de manera que los números asignados a vértices adyacentes difieran en $1$. Llamamos loma a un vértice cuyo número es mayor que los números de sus dos vértices adyacentes. Un valle es un vértice con un número menor que los números adyacentes. Demuestra que la suma de los números de las lomas menos la suma de los números de los valles es igual a $n$.

Encuentra todos los números primos $p$ para los cuales $p^2 + 77$ tiene exactamente $5$ divisores.

Los ángulos de un triángulo $ ABC $ están en progresión aritmética ($ \angle LB = \angle LA + x$ y $\angle LC = \angle LB + x$). $D, E$ y $F$ son, respectivamente, los puntos medios de $BC, CA$ y $AB$. Llamamos $H$ al pie de la altura desde $C$ (que cae entre $B$ y $F$) y $G$ a la intersección de $DH$ y $EF$. ¿Cuánto vale el ángulo $ \angle HGF$?

En una fiesta con $ n $ personas ocurre que cada quien era amigo de exactamente tres personas. ¿Cuáles son los posibles valores de $ n $?

En un torneo hubo 8 competidores $(A, B, C, D, E, F, G ext{ y } H)$. Cada uno jugó exactamente contra otros 3. En cada juego se le dio 2 puntos al ganador, 0 al perdedor y, en caso de empate, se le dio un punto a cada competidor. Si $A$ obtuvo 4 puntos, $B$ obtuvo 2, $C$ obtuvo 3, $D$ obtuvo 1, $E$ obtuvo 6, $F$ obtuvo 1 y $G$ obtuvo 4, ¿cuántos puntos obtuvo $H$?

En la siguiente cuadrícula se tienen escritos los números del 1 al 45 como indica la figura. Un movimiento consiste en elegir dos casillas e intercambiar los números que aparecen en ellas. Describe una forma de lograr con 12 movimientos (o menos) que las 5 sumas de los números que aparecen en cada renglón sean todas iguales.

Un triángulo equilátero $ABC$ de lado 2 tiene gravicentro $G$. Sean $G_1$ el reflejado de $G$ a través de la recta $AC$, $G_2$ el reflejado de $G_1$ a través de la recta $BC$ y $G_3$ el reflejado de $G_2$ a través de la recta $AB$. Encuentra la distancia de $G_3$ a $G$.

Dos círculos $C$ y $D$, con respectivos centros $M$ y $N$, se intersectan en dos puntos distintos. Sea $P$ uno de esos puntos. La recta $MP$ corta por segunda vez al círculo $D$ en $R$ y la recta $NP$ corta por segunda vez al círculo $C$ en $S$. Prueba que $M, S, R ext{ y } N$ son cíclicos.

En un triángulo $ABC$, sea $D$ el pie de la altura en $A$ y sea $M$ el punto medio de esa altura. Sea $ extit{L}$ la recta que pasa por $D$ y que es paralela a $AC$. La recta $BM$ corta a $AC$ en $P$ y a $ extit{L}$ en $Q$. Sean $R$ y $S$ los pies de las perpendiculares a $BC$ por $P$ y $Q$, respectivamente. Prueba que la suma de las longitudes de $PR$ y $QS$ es igual a la longitud de la altura $AD$.

¿Cuántas listas de 7 números de dos cifras son tales que cada tres términos consecutivos de la lista tienen suma múltiplo de 3? (Nota: En cada lista pueden repetirse números.)