Sea f:N→N una función que satisface $ kf(n)\le f(kn)\le kf(n) + k - 1$ para todos los $ k, n\in N$ . (a) Pruebe que $ f(a) + f(b)\le f(a + b)\le f(a) + f(b) + 1$ para todos los $ a, b\in N$ . (b) Si $ f$ satisface $ f(2007n)\le 2007f(n) + 200$ para cada $ n\in N$ , demuestre que existe $ c\in N$ tal que $ f(2007c) = 2007f(c)$ .

Para el vértice $ A$ de un triángulo $ ABC$ , sea $ l_a$ la distancia entre las proyecciones sobre $ AB$ y $ AC$ de la intersección de la bisectriz del ángulo $ \angle A$ con el lado $ BC$ . Define $ l_b$ y $ l_c$ análogamente. Si $ l$ es el perímetro del triángulo $ ABC$ , demuestre que $$ \frac{l_a l_b l_c}{l^3}\le\frac{1}{64}.$$

Encuentra todos los pares $ (p, q)$ de primos tales que $ {p}^{p}+{q}^{q}+1$ es divisible por $ pq$ .

Encuentra todas las ternas de $ (x, y, z)$ de enteros positivos que satisfacen $ 1+{4}^{x}+{4}^{y}=z^2$ .

Dada una tabla de cuadrados de $ 4\times 4$. ¿De cuántas maneras podemos llenar la tabla con $ \{0,1\}$ tal que dos cuadrados vecinos (que tienen un lado en común) tengan un producto que sea igual a $ 0$ ?

Sea $ O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ ABC$ y sea $ k$ el círculo con centro $ P$ que es tangente a $ O$ en $ A$ y tangente al lado $ BC$ en $ D$ . El círculo $ k$ se encuentra con $ AB$ y $ AC$ de nuevo en $ E$ y $ F$ respectivamente. Las líneas $ OP$ y $ EP$ se encuentran con $ k$ de nuevo en $ I$ y $ G$ . Las líneas $ BO$ y $ IG$ se intersecan en $ H$ . Demuestra que $ \frac{{DF}^2}{AF}=GH$ .

Para $S_n=\{1, 2, ..., n\}$, encuentre el valor máximo de $m$ que hace que la siguiente proposición sea verdadera. Proposición Existe $m$ subconjuntos diferentes de $S$, digamos $A_1, A_2, ..., A_m$, tales que para cada $i, j=1, 2, ..., m$, el conjunto $A_i \cup A_j$ no es $S$.

$A_0B, A_0C$ rayos que satisfacen $\angle BA_0C=14^{\circ}$. Debe colocar los puntos $A_1, A_2, ...$ siguiendo las siguientes reglas. Reglas (1) En el primer movimiento, coloque $A_1$ en cualquier punto de $A_0B$ (excepto $A_0$). (2) En el movimiento $n>1$-ésimo, coloque $A_n$ en $A_0B$ si $A_{n-1}$ está en $A_0C$, y coloque $A_n$ en $A_0C$ si $A_{n-1}$ está en $A_0B$. $A_n$ debe colocarse en el punto que satisface $A_{n-2}A_n{n-1}=A_{n-1}A_n$. Todos los puntos deben ser colocados en diferentes lugares. ¿Cuál es el número máximo de puntos que se pueden colocar?

Para un entero positivo $n$, sea $p(n)$ denote el divisor primo más pequeño de $n$. Encuentre el número máximo de divisores que $m$ puede tener si $p(m)^4>m$.

$O$ es la circunferencia circunscrita de $ABC$ y $CO$ se encuentra con $AB$ en $P$, y $BO$ se encuentra con $AC$ en $Q$. Demuestre que $BP=PQ=QC$ si y sólo si $\angle A=60^{\circ}$.