En la figura, $ABCD$ es un cuadrado y $M$ el punto medio de $AB$. La circunferencia con centro en $O$ y radio $r$ es tangente a $AD$, $AM$ y $MC$. La circunferencia con centro $P$ y radio $R$ es tangente a $AD$, $DC$, $MC$ [image]\nDemuestre que $R = 2 \left(\frac{r}{r+1}\right)$

Alrededor de una mesa redonda se encuentran sentadas $n$ personas, a quienes se les reparten $2n$ tarjetas (numeradas del $1$ al $2n$) de manera que una persona tiene las tarjetas $(1,2)$, la persona a su derecha las tarjetas $(3,4)$, a la derecha quedan $(5,6)$, etc. De manera simultánea, cada persona toma la tarjeta con el número menor (de las dos que tiene) y la pasa a quien esté sentado a su derecha. Este paso se repite una infinidad de veces.\\n(a) Demuestre que a partir de cierto momento, hay $n$ tarjetas que ya no se mueven.\\n(b) ¿Cuántos pasos son necesarios para alcanzar el momento mencionado en el inciso (a)?

Encontrar todas las parejas de enteros positivos $(n, p)$ tales que $p$ es primo y $p^n - 9n = p^p$.

Sean $A$ y $B$ dos puntos fijoses en el plano y sea $L$ una recta que pasa por $A$ pero no por $B$. Para $P$ y $Q$ puntos de $L$ (distintos de $A$) Sean $OP$ y $OQ$ los centros de las circunferencias circunscritas a $APB$ y $AQB$, respectivamente. Muestra que los ángulos $\angle OPB$ y $\angle OQB$ son iguales.

Aquiles y la tortuga se encuentran en las esquinas opuestas de un tablero de ajedrez de $5 \times 5$. Entre ellos se desarrolla un juego con las siguientes reglas:\\n(i) Cada uno puede moverse de una casilla a otra casilla adyacente (en diagonal no) y en cada jugada, Aquiles hace $3$ movimientos consecutivos y la tortuga dos movimientos. Por ejemplo, la tortuga puede moverse a una casilla y regresar, finalizando su jugada donde la empezó.\\n(ii) Gana aquel que al final de su jugada llegue justo a la casilla que ocupa su adversario.\\nSi la tortuga hace la primera jugada y ambos juegan inteligentemente, ¿quién puede asegurar la victoria?

En cierto juego hay varios montones de piedras que pueden modificarse de acuerdo a las siguientes $2$ reglas:\\n(1) Se pueden juntar dos de los montones en uno solo.\\n(2) Si un montón tiene un número par de piedras, se puede partir en dos montones con el mismo número de piedras cada uno.\\nAl principio hay tres montones, uno de ellos tiene $5$ piedras, otro tiene $49$ y el otro tiene $51$. Determinar si es posible lograr, con movimientos sucesivos, y siguiendo las reglas (1) y (2), que al final haya $105$ montones, cada uno con una piedra.

Considera un cuadrilátero cíclico $ABCD$. La prolongación de $DA$ más allá de $A$ se corta con la prolongación de $BC$ en un punto $P$ y las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $Q$. Se cumple que $DQ = DC = CP$. Demuestre que $\angle DAC = 60^\circ$.

¿Existe algún $n$ para el cual $n!$ sea divisible por $3^{1000}$ pero no por $3^{1012}$?

En una computadora voy a escribir un número de 125 dígitos usando ceros y unos como sigue: Presiono 1, después 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, y así sucesivamente (es decir, cada vez voy intercalando un cero más entre los unos). Cada vez que el número que se ha escrito hasta ese momento es múltiplo de 3, suena un timbre en la computador (por ejemplo, sonará después de la sexta tecla y también después de la séptima). Cuando termine de escribir el número ¿cuántas veces habrá sonado el timbre?

Queremos llenar una cuadrícula de $3$ renglones y $n$ columnas siguiendo tres reglas: 1) En el primer renglón se ponen los números del $1$ al $n$ en orden creciente. 2) En el segundo renglón también se ponen los números $1, 2, 3,..., n$ empezando en algún cuadrito y continuando hacia la derecha hasta llegar a la columna $n$ y continuando en la columna $1$. 3) En el tercer renglón se pone una permutación de los números del $1$ al $n$. ¿Para qué valores de $n$ se puede llenar la cuadrícula siguiendo las reglas y de manera que la suma de los números en cada columna sea la misma?