Sea $n$ un entero positivo. Un rectángulo de 4 por - $n$ se divide en $4n$ cuadrados unitarios de la forma habitual. Cada cuadrado unitario se colorea de negro o blanco. Suponga que cada cuadrado unitario blanco comparte un borde con al menos un cuadrado unitario negro. Demuestra que hay al menos $n$ cuadrados unitarios negros.

Decimos que un entero positivo es dulce si solo usa los dígitos 0, 1, 2, 4 y 8. Por ejemplo, 2014 es dulce. Hay enteros dulces cuyos cuadrados son dulces: algunos ejemplos (no necesariamente los más pequeños) son 1, 2, 11, 12, 20, 100, 202 y 210. Hay enteros dulces cuyos cubos son dulces: algunos ejemplos (no necesariamente los más pequeños) son 1, 2, 10, 20, 200, 202, 281 y 2424. Demuestra que existe un entero positivo dulce $n$ cuyo cuadrado y cubo son ambos dulces, tal que la suma de todos los dígitos de $n$ es 2014.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = 4x(1 - x)$. Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que existen números reales distintos $x_1$ , $x_2$ , $\ldots\,$ , $x_n$ tales que $x_{i + 1} = f(x_i)$ para cada entero $i$ con $1 \le i \le n - 1$ , y tales que $x_1 = f(x_n)$ .

Decimos que un cuadrilátero convexo es sabroso si sus dos diagonales dividen el cuadrilátero en cuatro triángulos similares que no se superponen. Encuentra todos los cuadriláteros convexos sabrosos. Justifica tu respuesta.

Sea $O=(0,0)$ el origen del plano $xy$. Decimos que un triángulo reticular $ABC$ es marino si tiene centroide $O$ y área $\tfrac{3}{2}$. Sea $P$ cualquier punto en el plano que no sea un punto reticular. Demuestre que $P$ se encuentra en el interior de algún triángulo marino si y solo si el segmento de línea $\overline{OP}$ no pasa por ningún punto reticular además de $O$. (Un punto reticular es un punto cuya coordenada $x$ y la coordenada $y$ son ambas enteras. Un triángulo reticular es un triángulo cuyos vértices son puntos reticulares.)

Sea $m$ el producto de los primeros 100 primos, y sea $S$ el conjunto de divisores de $m$ mayores que 1 (por lo tanto, $S$ tiene exactamente $2^{100} - 1$ elementos). Deseamos colorear cada elemento de $S$ con uno de $k$ colores de tal manera que\n$\ \bullet \ $ cada color se use al menos una vez; y\n$\ \bullet \ $ cualesquiera tres elementos de $S$ cuyo producto es un cuadrado perfecto tienen exactamente dos colores diferentes utilizados entre ellos.\nEncuentre, con prueba, todos los valores de $k$ para los cuales esta coloración es posible.

Los dos gatos Fitz y Will juegan el siguiente juego. En una pizarra está escrita la expresión \[ x^{100} + {\square} x^{99} + {\square} x^{98} + {\square} x^{97} + \dots + {\square } x^2 + {\square} x +1. \n\] Ambos gatos toman turnos alternados reemplazando un $\square$ con un $0$ o $1$, con Fitz yendo primero, hasta que (después de 99 turnos) todos los espacios en blanco han sido llenados. Si el polinomio resultante obtenido tiene una raíz real, entonces Will gana, de lo contrario Fitz gana. Determine, con prueba, qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Sea $n \ge 2023$ un entero. Demuestre que existe una permutación $(p_1, p_2, \dots, p_n)$ de $(1, 2, \dots, n)$ tal que \[ p_1 + 2p_2 + 3p_3 + \dots + np_n \n\] es divisible por $n$.

Sea $n$ un entero positivo. Sea $d$ un entero tal que $d \ge n$ y $d$ es un divisor de $\frac{n(n + 1)}{2}$ . Demuestre que el conjunto $\{ 1, 2, \dots, n \}$ se puede particionar en subconjuntos disjuntos de tal manera que la suma de los números en cada subconjunto sea igual a $d$ .

Decimos que un entero positivo es rojo si es de la forma $n^{2020}$ , donde $n$ es un entero positivo. Decimos que un entero positivo es azul si no es rojo y es de la forma $n^{2019}$ , donde $n$ es un entero positivo. ¿Verdadero o falso?: Entre cada dos enteros positivos rojos diferentes mayores que $10^{100{,}000{,}000}$ , hay al menos 2019 enteros positivos azules. Demuestra que tu respuesta es correcta.