En un tablero circular hay 19 casillas numeradas en orden del 1 al 19 (a la derecha del 1 está el 2, a la derecha de éste está el 3 y así sucesivamente, hasta el 1 que está a la derecha del 19). En cada casilla hay una ficha. Cada minuto cada ficha se mueve a su derecha el número de la casilla en que se encuentra en ese momento más una; por ejemplo la ficha que está en el lugar 7 se va el primer minuto $7+1$ lugares a su derecha hasta la casilla 15; el segundo minuto esa misma ficha se mueve a su derecha 15+1 lugares, hasta la casilla 12, etc. Determinar si en algún momento todas las fichas llegan al lugar donde empezaron y, si es así, decir cuántos minutos deben transcurrir.

Dado un natural $n$, sea $[n] = \{1, 2, 3, \ldots, n\}$. Digamos que $n$ es partible si existen dos conjuntos $A$ y $B$ tales que $A \cup B = [n]$, $A \cap B = \emptyset$ y las sumas de parejas de elementos de $A$ son todas distintas entre sí y lo mismo ocurre con $B$. Por ejemplo, 5 es partible pues al tomar $A = \{2, 3, 5\}$ y $B = \{1, 4\}$, las sumas de las parejas de $A$ son $2+3=5$, $2+5=7$ y $3+5=8$ (y los resultados 5, 7 y 8 son distintos) y lo mismo ocurre en $B$, pues sólo hay una suma (con resultado 5). Probar que 10 es partible pero que 15 no lo es.

En el hexágono $AYCXBZ$ los lados $AZ$ y $CX$ son perpendiculares a la diagonal $AC$; los lados $AY$ y $BX$ son perpendiculares a la diagonal $AB$, y los lados $BZ$ y $CY$ son perpendiculares a la diagonal $BC$. (a) Probar que $AX$, $CZ$ y $BY$ concurren. (b) Probar que si el área del triángulo $ABC$ es 1, entonces $BC(CY+BZ) + AB(AY+BX) + AC(CX+AZ) = 8$. [image]

En una cuadrícula se encuentra un punto $P$ y, abajo de él, a una distancia de 6 cuadros, hay una recta horizontal $L$. ¿Cuántos caminos hay de $P$ a cualquier punto de $L$ si los caminos deben ir sobre las líneas de la cuadrícula, no deben pasar dos veces por un mismo punto ni ir hacia arriba, y deben avanzar en línea recta a lo más una distancia de dos cuadros. (En la figura aquí abajo se muestra un camino con las condiciones pedidas.)[image]

Dos personas $A$ y $B$ van a jugar un juego alternando turnos; $A$ toma el primer turno. Para el juego está dibujada sobre un papel una cuadrícula de $7 \times 7$. En cada turno se borran algunos de los cuadritos como sigue: El jugador en turno escoge un cuadrito y borra toda la columna y el renglón a los que pertenece ese cuadrito dentro de la porción rectangular donde está en ese momento el cuadrito. Por ejemplo, si al principio $A$ escoge el cuadrito marcado con 1 en la figura (a) de abajo, a $B$ le queda la figura (b) y, si él escoge el cuadrito marcado con 2, entonces para el siguiente turno a $A$ le queda la figura (c). Gana el jugador que en su turno logra que no sobre ningún cuadrito. Determinar cuál de los dos jugadores puede asegurar su triunfo y cómo debe jugar para lograrlo.[image]

Alberto y Rodrigo van a jugar un juego por turnos pintando cuadritos de una cuadrícula de $n imes n$. Alberto tiene pintura azul y Rodrigo roja. Al principio todos los cuadros son blancos. Empieza Alberto pintando el cuadro de la esquina superior izquierda y después Rodrigo pinta la esquina inferior derecha. En su turno cada uno debe pintar un cuadro que no haya pintado ya y que comparta una arista con un cuadro de su mismo color. Gana el primero que pinte un cuadro que ya estaba pintado por el otro jugador. Suponiendo que los dos juegan correctamente, ¿cuál de ellos tiene estrategia ganadora y cómo sería esa estrategia?

En la figura, $ABCD$ es un paralelogramo; $P$ es un punto sobre la diagonal $AC$ tal que $PC = BC$; $H$ es un punto sobre el lado $CD$ tal que $PH$ es perpendicular a $CD$; $Q$ es el punto de intersección de $AD$ con $BP$; $M$ es el punto medio del segmento $PQ$; $T$ es la intersección de $AM$ con $CD$. Prueba que los ángulos $MQT$ y $MHT$ son iguales. [image]

¿Cuántos caminos diferentes hay para ir desde el punto $X$ de la figura a cualquiera de los puntos $A$, $B$, $C$, $D$ o $E$, moviéndose siempre sobre las líneas de la figura verticalmente hacia abajo o en diagonal hacia abajo a la izquierda? [image]

Encuentra todos los enteros positivos $x$ que satisfacen la ecuación: $x^2=3^{x-11}+144$.

En los triangulitos en blanco de la figura deben escribirse, sin repetir, los números del $1$ al $6$, de tal forma que la suma de los números que queden en los $3$ triángulos que tienen una base en $PQ$ sea igual a la de los tres triángulos que tienen una base en $PR$ y también a la de los $3$ triángulos que tienen una base en $QR$. ¿De cuántas maneras distintas es posible hacer esto? [image]