Sea $ABC$ un triángulo equilátero con lado de longitud $1$. Decimos que un punto $X$ en el lado $\overline{BC}$ está balanceado si existe un punto $Y$ en el lado $\overline{AC}$ y un punto $Z$ en el lado $\overline{AB}$ tal que el triángulo $XYZ$ es un triángulo rectángulo isósceles con $XY = XZ$. Encuentre con prueba la longitud del conjunto de todos los puntos balanceados en el lado $\overline{BC}$ .

Sean $A_1$ , $A_2$ , $\ldots\,$ , $A_n$ conjuntos finitos. Demostrar que\n\[ \Bigl| \bigcup_{1 \le i \le n} A_i \Bigr| \ge \frac{1}{2} \sum_{1 \le i \le n} \left| A_i \right| - \frac{1}{6} \sum_{1 \le i < j \le n} \left| A_i \cap A_j \right| \, .\n\] Recuerde que si $S$ es un conjunto finito, entonces su cardinalidad $|S|$ es el número de elementos de $S$ .

Sea $f$ una función del conjunto de los números racionales al conjunto de los números reales. Suponga que para todos los números racionales $r$ y $s$, la expresión $f(r + s) - f(r) - f(s)$ es un entero. Demuestre que existe un entero positivo $q$ y un entero $p$ tal que\n\[ \Bigl\lvert f\Bigl(\frac{1}{q}\Bigr) - p \Bigr\rvert \le \frac{1}{2012} \, .\n\]

Recuerde que los números de Fibonacci se definen recursivamente por la ecuación $F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}$ para cada entero $n \ge 2$, con valores iniciales $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$. Sea $k$ un entero positivo. Se dice que un entero es $k$ - sumable si es la suma de $k$ números de Fibonacci (no necesariamente distintos).\n(a) Demuestre que todo entero positivo menor que $F_{2k + 3} - 1$ es $k$ - sumable.\n(b) Demuestre que $F_{2k + 3} - 1$ no es $k$ - sumable.

Sean $m$ y $n$ enteros mayores que 1. Demuestre que $\left\lfloor \dfrac{mn}{6} \right\rfloor$ rectángulos 2 por 3 no superpuestos se pueden colocar en un rectángulo $m$ - por - $n$. Nota: $\lfloor x \rfloor$ significa el entero más grande que es menor o igual que $x$.

Sea $A_1A_2 \dots A_n$ un polígono (no necesariamente regular) con $n$ lados. Suponga que hay una traslación que mapea cada punto $A_i$ a un punto $B_i$ en el mismo plano. Para conveniencia, defina $A_0 = A_n$ y $B_0 = B_n$. Demuestre que\n\[ \sum_{i=1}^{n} (A_{i-1} B_{i})^2 = \sum_{i=1}^{n} (B_{i-1} A_{i})^2 \, .\n\]

Hay $12$ miembros en un club. Los miembros crearon algunos grupos pequenos, los cuales satisfacen lo siguiente: \n- El grupo pequeno consiste de $3$ o $4$ personas. \n- Ademas, para dos miembros arbitrarios, existe exactamente un grupo pequeno que tiene ambos miembros. Demuestra que todos los miembros estan en el mismo numero de grupos pequenos.

Encuentra todos los pares de funciones $f; g : R \to R$ tales que para todos los reales $x.y \ne 0$ : $$f(x + y) = g \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \cdot (xy)^{2008}$$

Si $d_1,d_2,...,d_k$ son todos los divisores positivos distintos de $n$ , definimos $f_s(n) = d_1^s+d_2^s+..+d_k^s$ . Por ejemplo, tenemos $f_1(3) = 1 + 3 = 4, f_2(4) = 1 + 2^2 + 4^2 = 21$ . Demuestra que para todos los enteros positivos $n$ , $n^3f_1(n) - 2nf_9(n) + n^2f_3(n)$ es divisible por $8$ .

Sea un pentagono $ABCDE$ inscrito en un circulo $O$ . La tangente a $O$ en $E$ es paralela a $AD$ . Un punto $F$ se encuentra en $O$ y esta en el lado opuesto de $A$ con respecto a $CD$ , y satisface $AB \cdot BC \cdot DF = AE \cdot ED \cdot CF$ y $\angle CFD = 2\angle BFE$ . Demuestra que la tangente a $O$ en $B,E$ y la linea $AF$ concurren en un punto.