Determine, con prueba, si existe o no un trapecio no isósceles $ABCD$ tal que las longitudes $AC$ y $BD$ se encuentren ambas en el conjunto $\{ DA+AB, AB+BC, BC+CD, CD+DA, AB+CD, BC+DA \}$.

Sean $a$, $b$, $c$ enteros positivos con $a \le 10$. Suponga que la parábola $y = ax^2 + bx + c$ se encuentra con el eje $x$ en dos puntos distintos $A$ y $B$. Dado que la longitud de $\overline{AB}$ es irracional, determine, con prueba, el valor posible más pequeño de esta longitud, en todas esas opciones de $(a, b, c)$.

Sea $M$ una matriz con $r$ filas y $c$ columnas. Cada entrada de $M$ es un entero no negativo. Sea $a$ el promedio de todas las $rc$ entradas de $M$ . Si $r > {(10 a + 10)}^c$ , demuestra que $M$ tiene dos filas idénticas.

Sea $n$ un entero positivo tal que $n + 1$ es divisible por 24. Demuestra que la suma de todos los divisores positivos de $n$ es divisible por 24.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero. Si $0 < r < 1$ , sea $D_r$ el punto en $\overline{AB}$ tal que $AD_r = r \cdot AB$ , sea $E_r$ el punto en $\overline{BC}$ tal que $BE_r = r \cdot BC$ , y sea $P_r$ el punto donde $\overline{AE_r}$ y $\overline{CD_r}$ se intersecan. Demuestra que el conjunto de puntos $P_r$ (sobre todo $0 < r < 1$ ) yacen en un círculo.

Sean $A_0$ , $A_1$ , $A_2$ , ..., $A_n$ números no negativos tales que \[ A_0 \le A_1 \le A_2 \le \dots \le A_n.\n\] Demuestra que \[ \left| \sum_{i = 0}^{\lfloor n/2 \rfloor} A_{2i} - \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^n A_i \right| \le \frac{A_n}{2} \, .\n\] (Nota: $\lfloor x \rfloor$ significa el mayor entero que es menor o igual a $x$ . )

Para todos los enteros $x$ e $y$ , sea $a_{x, y}$ un número real. Suponga que $a_{0, 0} = 0$ . Suponga que sólo un número finito de los $a_{x, y}$ son distintos de cero. Demuestre que $$\sum_{x = -\infty}^\infty \sum_{y = -\infty}^{\infty} a_{x,y} ( a_{x, 2x + y} + a_{x + 2y, y} )$\n$\le \sqrt{3} \sum_{x = -\infty}^\infty \sum_{y = -\infty}^{\infty} a_{x, y}^2 \, .$$

Hay un cubo de madera de $3 \times 3 \times 3$ y 18 tiras de papel rectangulares de $3 \times 1$. Cada tira tiene dos líneas punteadas que la dividen en tres cuadrados unitarios. La superficie completa del cubo está cubierta con las tiras dadas, planas o dobladas. Cada tira plana está en una cara del cubo. Cada tira doblada (doblada en una de sus líneas punteadas) está en dos caras adyacentes del cubo. ¿Cuál es el mayor número posible de tiras dobladas? Justifique su respuesta.

Sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de un entero positivo $n$ . Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Se dice que una función $F$ de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ es respetuosa de los divisores si $d(F(mn)) = d(F(m)) d(F(n))$ para todos los enteros positivos $m$ y $n$ , y $d(F(n)) \le d(n)$ para todos los enteros positivos $n$ . Encuentre todas las funciones respetuosas de los divisores. Justifique su respuesta.

Sea $P$ un punto en el plano. Suponga que $P$ está dentro (o sobre) cada uno de los 6 círculos $\omega_1$ , $\omega_2$ , ..., $\omega_6$ en el plano. Demuestre que existen $i$ y $j$ distintos tales que el centro del círculo $\omega_i$ está dentro (o sobre) el círculo $\omega_j$ .