Encontrar todos los enteros $A \leq 120$ que tienen exactamente 4 divisores y tales que la suma de los divisores es un cuadrado.

En una cuadrícula con $k$ renglones y 5 columnas (es decir, cada renglón está formado por 5 cuadritos) se escriben los números 1, 2, 3 y 4 de tal manera que en cada renglón aparecen exactamente dos de estos números y todos los renglones son distintos entre sí (por ejemplo un renglón podría ser (2,4,4,4,4) y otro distinto a él sería (4,4,2,4,4)). ¿Cuál es el mínimo valor de $k$ para el cual se puede asegurar que hay un rectángulo formado por las líneas de la cuadrícula en el que las cuatro esquinas tienen los 4 números?

En un torneo con $n \geq 3$ competidores cada uno jugó una vez contra cada uno de los demás. No hubo empates y ningún competidor le ganó a todos los demás. (a) Probar que hubo tres competidores $a$, $b$ y $c$ tales que $a$ le ganó a $b$, $b$ le ganó a $c$ y $c$ le ganó a $a$. (b) Para cada $n \geq 3$ dar un ejemplo en que sólo haya una terna de competidores \{$a,b,c\} con las condiciones del inciso anterior.

Dos círculos $C$ y $D$ se intersectan en los puntos $A$ y $B$. Una recta es tangente a ambos $C$ y $D$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente, y las rectas $CA$ y $CB$ intersectan nuevamente al círculo $D$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $G$ el otro punto (distinto de $C$) en que la recta $CD$ intersecta al circuncírculo de $CEF$. Probar que $D$ es el punto medio del segmento $CG$.

En un paralelogramo $ABCD$, sean $L$, $M$ y $N$ los respectivos puntos medios de los lados $AB$, $BC$ y $CD$. Sean $P$ y $Q$ los puntos intersección de $AM$ con $DL$ y con $BN$, respectivamente. Probar que las áreas de los triángulos $APL$ y $BQM$ son iguales.

Unas líneas rectas se dibujan en el plano de manera que entre los ángulos formados se encuentran todos los siguientes $10^\circ$, $20^\circ$, $30^\circ$, $40^\circ$, $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$, $80^\circ$, $90^\circ$. ¿Cuál es la menor cantidad posible de rectas?

En un triángulo que tiene área 1, sea $M$ el producto del perímetro del triángulo con la suma de las tres alturas del mismo triángulo. Probar que $M > 12$.

En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$; $D$ es un punto sobre $AC$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $|CE| = 2|BC|$ y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que la recta $FA$ es paralela a $BC$.[image]

En un campamento de verano que va a durar $n$ semanas se quiere dividir el tiempo en 3 períodos de manera que cada período empiece un lunes y termine un domingo. El primer período se dedicará a labores artísticas, el segundo será para deportes y en el tercero se hará un taller tecnológico. Durante cada período se escogerá un lunes para que un experto en el tema del período dé una plática. Sea $C(n)$ el número de formas en que puede hacerse el calendario de actividades. (Por ejemplo, si $n = 10$ una forma en que podría hacerse el calendario es poniendo las cuatro primeras semanas para arte y la plática con el artista el primer lunes; las siguientes 5 semanas podrían ser para deportes, con la visita del deportista el cuarto lunes de ese período; la semana restante sería para el taller tecnológico y la plática sería el lunes de esa semana.) (a) Calcular $C(8)$. (b) Probar que para cualquier $n$ natural, $C(n)$ es un coeficiente binomial, es decir, encontrar $k$ y $r$ naturales tales que $C(n) = \binom{k}{r}$.

Encontrar todos los enteros positivos $A$ menores que 4 millones, tales que $10A$ es un cuadrado y $6A$ es un cubo.