Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ABC = 90^\circ$ y $|AB| = 2|BC|$. Sea $D$ un punto sobre la bisectriz de $\angle B$ tal que $|AD| = |DC|$. Probar que la perpendicular a $BD$ por $A$ corta el segmento $DC$ en su punto medio.

Encontrar todas las soluciones de la siguiente ecuación, en la que $p$, $q$ y $r$ deben ser números primos (positivos): $2pq = 7rq + 5q + 3p$.

¿Cuál es el menor entero $n$ $(n \geq 3)$ con el que si los enteros del $1$ al $n$ se separan al azar en tres conjuntos (cada elemento en exactamente uno de los tres conjuntos) entonces se puede asegurar en alguno de los $3$ conjuntos hay $3$ elementos (distintos) con suma múltiplo de $3$?

Si $f(x) = \frac{1}{x}$ y $g(x) = 1 - x$, ¿cuánto vale $g(f(g(f(g(f(2013))))) \cdots )$ en donde $g$ (y también $f$) se aplica $100$ veces?

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con ángulo recto en $A$. Sea $D$ un punto sobre $BC$ tal que $BD = 2DC$ y sea $E$ el pie de la perpendicular de $B$ sobre $AD$. Determinar el ángulo $\angle CED$.

¿Cuántos caminos hay que usen las líneas de la siguiente figura y que pasen exactamente una vez por cada uno de los puntos (marcados por $\bullet$)? (Nota: Considerar como distintos dos caminos que usen la misma sucesión de puntos pero en sentido inverso uno del otro). [image]

En un tablero cuadridulado de $100 \times 100$ cuadros, todos los cuadritos son inicialmente blancos. En cierto juego, dos jugadores $A$ y $B$ realizan alternadamente la siguiente operación (empieza $A$): (a) Escoge un cuadrito blanco (de $1 \times 1$) y pinta de negro ese cuadro y también todos los cuadros que cumplan cualquiera de las condiciones siguientes: \* Que en ese turno sean blancos y que estén en donde se cruzan el renglón del cuadro escogido y la columna de algún cuadro que haya sido previamente pintado de negro. \* Que en ese turno sean blancos y que estén en donde se cruzan la columna del cuadro escogido y el renglón de algún cuadro que haya sido previamente pintado de negro. Como ejemplo, aquí abajo se muestran $4$ operaciones sucesivas posibles. Se indica con una cruz el cuadro que se escoge en ese momento y, para ilustrar, se ponen de gris los cuadros que se deben pintar de negro en ese turno. [image] El juego termina cuando todos los cuadros son negros. Gana el último jugador que pudo escoger un cuadro blanco para pintarlo (junto con los que cumplan la regla descrita). Determinar cuál de los dos jugadores puede asegurar su triunfo si juega correctamente, y decir cómo debe jugar.

Sea $\mathcal{P}$ un polígono regular de 20 lados. Determinar cuántos triángulos $\mathcal{T}$ con vértices en los vértices de $\mathcal{P}$ cumplen que ningún lado de $\mathcal{T}$ es también lado de $\mathcal{P}$.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y sea $D$ cualquier punto en la prolongación del lado $BC$ (con $C$ entre $B$ y $D$). Sea $P$ la intersección de la bisectriz del ángulo $\angle BAD$ con $BC$. Sea $X$ la intersección del circuncírculo del triángulo $APC$ con $AD$. Probar que $AX = AC$.

Encontrar todas las parejas de enteros positivos $a \leq b$ que satisfagan la siguiente ecuación: $$a!b! = a^2b^2.$$