Olimpiada Juvenil Polaca 2018 Problema 1
Existen reales positivos $a, b, c, x$ tales que $a^2+ b^2 = c^2$ y $(a + x)^2+ (b +x)^2 = (c + x)^2$?
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Olimpiada Juvenil Polaca 2021 Problema 7
La figura de abajo, compuesta por cuatro pentágonos regulares con una longitud de lado de $1$, se pegó en el espacio de la siguiente manera. Primero, se dobló a lo largo de las secciones discontinuas, combinando las secciones en negrita, y luego se formó de tal manera que las secciones coloreadas formaran un cuadrado. Encuentra la longitud del segmento $AB$ creado de esta manera. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/0/7/bddad6449f74cbc7ea2623957ef05b3b0d2f19.png
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Olimpiada Juvenil Polaca 2021 Problema 6
En el $(2n+2)$ - gono convexo se dibujan $n^2$ diagonales. Demuestra que una de estas diagonales corta el $(2n+2)$-gono en dos polígonos, cada uno de los cuales tiene un número impar de vértices.
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Olimpiada Juvenil Polaca 2021 Problema 5
Los números naturales $a$, $b$ están escritos en decimal usando los mismos dígitos (es decir, cada dígito del 0 al 9 aparece la misma cantidad de veces en $a$ y en $b$). Demuestra que si $a+b=10^{1000}$ entonces ambos números $a$ y $b$ son divisibles por $10$.
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Olimpiada Juvenil Polaca 2021 Problema 4
En el lado $AB$ de un triángulo escaleno $ABC$ hay puntos $M$, $N$ tales que $AN=AC$ y $BM=BC$. La línea paralela a $BC$ que pasa por $M$ y la línea paralela a $AC$ que pasa por $N$ se intersectan en $S$. Demuestra que $\measuredangle{CSM} = \measuredangle{CSN}$.
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Olimpiada Juvenil Polaca 2021 Problema 3
En un torneo de bádminton participaron 16 personas. Cada par de participantes jugó como máximo un partido y no hubo empates. Después del torneo resultó que cada participante ha ganado un número diferente de partidos. Demuestra que cada participante ha perdido un número diferente de partidos.
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Olimpiada Juvenil Polaca 2021 Problema 2
El punto $M$ es el punto medio de la hipotenusa $AB$ de un triángulo rectángulo $ABC$. Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en los segmentos $AM$ y $MB$ respectivamente y $PQ=CQ$. Demuestra que $AP\leq 2\cdot MQ$.
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Olimpiada Juvenil Polaca 2021 Problema 1
Los enteros positivos $a$, $b$ y $n$ satisfacen\n\[\n\frac{a}{b}=\frac{a^2+n^2}{b^2+n^2}.\n\]\nDemuestra que $\sqrt{ab}$ es un entero.
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Olimpiada Juvenil Polaca Fi 2018 Problema 5
El punto $M$ es el punto medio del lado $AB$ del triángulo equilátero $ABC$. Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en los segmentos $AC$ y $BC$, respectivamente, y $\angle DME = 60^{\circ}$. Demostrar que $AD + BE = DE + \frac{1}{2}AB$.
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Olimpiada Juvenil Polaca Fi 2018 Problema 4
Los números reales $a, b, c$ no son iguales a $0$ y son solución del sistema:\n$\begin{cases}\na^2 + a = b^2 \\\nb^2 + b = c^2 \\\nc^2 + c = a^2\n\end{cases}$\nDemostrar que $(a - b)(b - c)(c - a) = 1$.
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