Sea $n$ un entero positivo. Cada número $1, 2, ..., 1000$ ha sido coloreado con uno de $n$ colores. Cada dos números, tales que uno es divisor del segundo, están coloreados con colores diferentes. Determinar el número mínimo $n$ para el cual esto es posible.

Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$ en el que $AB + CD = AD$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $E$. La línea que pasa por el punto $E$ y es paralela a las bases del trapecio corta a $AD$ en el punto $F$. Demostrar que $\sphericalangle BFC = 90^{\circ}$.

Sean $a, b$ enteros positivos impares tales que $a^bb^a$ es un cuadrado perfecto. Demostrar que $ab$ es un cuadrado perfecto.

Se da un paralelogramo $ABCD$. En la diagonal $BD$, se selecciona un punto $P$ tal que $AP = BD$. El punto $Q$ es el punto medio del segmento $CP$. Demuestra que $\angle BQD = 90^o$.

Los enteros positivos $a, b, c$ tienen la propiedad de que: $\bullet$ $a$ da resto $2$ cuando se divide por $b$, $\bullet$ $b$ da resto $2$ cuando se divide por $c$, $\bullet$ $c$ da resto $4$ cuando se divide por $a$. Demuestra que $c = 4$.

Los enteros $a, b, c$ no son $0$ tales que $\frac{a}{b + c^2}=\frac{a + c^2}{b}$. Demuestra que $a + b + c \le 0$.

Se da un cuadrilátero convexo $ABCD$ en el que $\angle DAB = \angle ABC = 45^o$ y $DA = 3$, $AB = 7\sqrt2$, $BC = 4$. Calcula la longitud del lado $CD$.

El número natural $n$ se multiplicó por $3$, lo que resultó en el número $999^{1000}$. Encuentra el dígito de la unidad de $n$.

Sea $d(n)$ el número de divisores positivos de un entero positivo $n$ . Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Se dice que una biyección $F$ de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ es amigable con los divisores si $d(F(mn)) = d(F(m)) d(F(n))$ para todos los enteros positivos $m$ y $n$ . (Nota: Una biyección es una función uno a uno y sobre). ¿Existe una biyección amigable con los divisores? Demuestra o refuta.

Sea $n$ un entero positivo. Sean $x_1$ , $x_2$ , $\ldots\,$ , $x_n$ una secuencia de $n$ números reales. Se dice que una secuencia $a_1$ , $a_2$ , $\ldots\,$ , $a_n$ es unimodular si cada $a_i$ es $\pm 1$ . Demuestra que \[ \sum a_1 a_2 \ldots a_n (a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n)^n = 2^{n} n!\, x_1 x_2 \ldots x_n ,\n\] donde la suma es sobre todas las $2^{n}$ secuencias unimodulares $a_1$ , $a_2$ , $\ldots\,$ , $a_n$ .