¿Existe un triángulo $ABC$ y un punto $P$ en su interior que cumplan que toda recta que pasa por $P$ divide a $ABC$ en dos figuras de igual área?

Mostrar que el siguiente tablero de $5 \times 5$ no se puede completar con los números del 1 al 25 (usando exactamente una vez cada uno) de modo que en cada columna y en cada renglón la suma sea la misma. [image]

Encontrar todas las soluciones de la ecuación $a^3(b^2 - p) = a^3 + b^2 - 1$ con $a$ y $b$ enteros positivos y $p$ número primo.

Dos jugadores $A$ y $B$ juegan alternadamente en una cuadrícula de $n \times n$. Una tirada consiste en escoger un entero $2 \leq m \leq n$ y una subcuadrícula de $m \times m$ contenida en la cuadrícula inicial, y pintar todos los cuadritos de $1 \times 1$ que están en una de las dos diagonales de dicha subcuadrícula. Además se tiene la restricción de que no se puede escoger una subcuadrícula que contenga cuadritos pintados previamente (ver el ejemplo que se ilustra abajo en la figura). Pierde el jugador que ya no puede borrar cuadritos. Si $B$ es el segundo en tirar, ¿quién de $A$ o $B$ puede asegurar que ganará si juega apropiadamente y ¿cómo debe hacer para asegurar su triunfo? [image]

Se tienen 11 tarjetas numeradas del 1 al 11. Determinar todas las formas de distribuir las tarjetas en 3 montones de tal manera que la suma de las tarjetas de cada montón sea 22 y que en ninguno de los montones haya dos tarjetas una de las cuales tenga un número primo y la otra esté numerada con un número múltiplo de ese primo (por ejemplo, la tarjeta que lleva el 10 no puede estar en el mismo montón que la que lleva el 5).

En un torneo había 7 equipos que jugaron todos contra todos una vez. Cada día se efectuó un partido. En determinado momento se observó que cada equipo había jugado a lo más 3 juegos. Probar que a alguno de los equipos le faltaban en ese momento por lo menos 4 juegos por jugar.

Encontrar todos los conjuntos $A$ que consten de 4 enteros menores que 250, en los cuales cada pareja de elementos tenga máximo común divisor igual a un número primo, y que todos esos primos sean distintos.

En un planeta, el año dura 101 días y los días están numerados del 1 al 101. Resulta que llueve un día, después deja de llover dos días, al día siguiente vuelve a llover y después deja de llover el día siguiente; otra vez llueve y luego pasan dos días más sin llover y así sucesivamente, alternándose los días que no hay lluvia en 2, 1, 2, 1, 2, etc. Llovió por primera vez el día 2, luego el 5, luego el 7, luego el 10, luego el 12, etc. Probar que, al pasar de los años, llega un momento en que ha llovido exactamente el mismo número de veces cada fecha del año, y encontrar cuántos años deben pasar para que eso ocurra.

En la figura hay dos círculos que se intersectan en los puntos $P$ y $Q$; $X$ es un punto sobre la recta por $P$ y $Q$, y los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ son las intersecciones de los círculos con rectas que pasan por $X$, como se muestra en la figura. Probar que $YB \cdot YA = YC \cdot YD$. [image]

Sean $l$ y $m$ dos rectas paralelas. Sean $A$, $B$, $C$ y $D$ puntos en $l$ y $E$, $F$, $G$ y $H$ puntos en $m$ de forma que $|AB| = |CD|$ y $|EF| = |GH|$ (ver figura). Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $AG$ con $CE$ y de $BH$ con $DF$ respectivamente. Demostrar que el segmento $PQ$ es paralelo a las rectas $l$ y $m$. [image]