Encuentra todos los polinomios $P$ con coeficientes enteros tales que todas las raíces de $P^n(x)$ son enteros. (aquí $P^n(x)$ significa $P(P(...(P(x))...))$ donde $P$ se repite $n$ veces)

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que lo siguiente se cumple. $$\tau(n)|2^{\sigma(n)}-1$$

a) ¿Existe un subconjunto infinito $S$ de los números naturales, tal que $S\neq \mathbb{N}$ , y tal que para cada número natural $n\not \in S$ , exactamente $n$ miembros de $S$ son coprimos con $n$ ? b) ¿Existe un subconjunto infinito $S$ de los números naturales, tal que para cada número natural $n\in S$ , exactamente $n$ miembros de $S$ son coprimos con $n$ ?

La ciudad de Bridge Village tiene algunas carreteras. Las carreteras son curvas cerradas que tienen intersecciones entre sí o consigo mismas en cruces de $4$ vías. Mr.Bridge Lover, alcalde de la ciudad, quiere construir un puente en cada cruce para disminuir el número de accidentes. Quiere construir los puentes de tal manera que en cada carretera, los coches pasen por encima de un puente y por debajo de un puente alternativamente. Conociendo el número de carreteras determinar si esta acción es posible o no.

a) Demostrar que existe $a>0$ tal que para cada número natural $n$ , existe un $n$ - gono convexo $P$ en el plano con puntos reticulares como vértices tal que el área de $P$ es menor que $an^3$ . b) Demostrar que existe $b>0$ tal que para cada número natural $n$ y cada $n$ - gono $P$ en el plano con puntos reticulares como vértices, el área de $P$ no es menor que $bn^2$ . c) Demostrar que existen $\alpha,c>0$ tales que para cada número natural $n$ y cada $n$ - gono $P$ en el plano con puntos reticulares como vértices, el área de $P$ no es menor que $cn^{2+\alpha}$.

Llamamos al polinomio de tres variables $P$ cíclico si $P(x,y,z)=P(y,z,x)$ . Demostrar que existen polinomios de tres variables cíclicos $P_1,P_2,P_3$ y $P_4$ tales que para cada polinomio de tres variables cíclico $P$ , existe un polinomio de cuatro variables $Q$ tal que $P(x,y,z)=Q(P_1(x,y,z),P_2(x,y,z),P_3(x,y,z),P_4(x,y,z))$.

Tenemos $n$ bolsas cada una con $100$ monedas. Todas las bolsas tienen monedas de $10$ gramos excepto una de ellas que tiene monedas de $9$ gramos. Tenemos una balanza que puede mostrar pesos de cosas que tienen un peso de a lo sumo $1$ kilogramo. ¿Al menos cuántas veces debemos usar la balanza para encontrar la bolsa diferente?

Demostrar que para cada $n \in \mathbb N$ existen números naturales $a_1<a_2<...<a_n$ tales que $\phi(a_1)>\phi(a_2)>...>\phi(a_n)$.

Supongamos que $S$ es una figura convexa en el plano con área $10$ . Considerar una cuerda de longitud $3$ en $S$ y sean $A$ y $B$ dos puntos en esta cuerda que la dividen en tres partes iguales. Para un punto variable $X$ en $S-\{A,B\}$ , sean $A'$ y $B'$ los puntos de intersección de los rayos $AX$ y $BX$ con la frontera de $S$ . Sea $S'$ aquellos puntos $X$ para los cuales $AA'>\frac{1}{3} BB'$ . Demostrar que el área de $S'$ es al menos $6$.

Sea $G$ un grafo no dirigido simple con vértices $v_1,v_2,...,v_n$ . Denotamos el número de orientaciones acíclicas de $G$ con $f(G)$ . a) Demostrar que $f(G)\le f(G-v_1)+f(G-v_2)+...+f(G-v_n)$ . b) Sea $e$ una arista del grafo $G$ . Denotar por $G'$ el grafo obtenido omitiendo $e$ y haciendo que sus dos puntos finales sean un vértice. Demostrar que $f(G)=f(G-e)+f(G')$ . c) Demostrar que para cada $\alpha >1$ , existe un grafo $G$ y una arista $e$ de él tal que $\frac{f(G)}{f(G-e)}<\alpha$.