Dado un primo $p$ , demuestra que la suma $\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{q}{p} \rfloor}{k^{p-1}}$ no es divisible por $q$ para todos los primos $q$ excepto para un número finito de ellos.

Sea $ABC$ un triángulo con $CA \neq CB$ . Sean $D$ , $F$ , y $G$ los puntos medios de los lados $AB$ , $AC$ , y $BC$ respectivamente. Un círculo $\Gamma$ que pasa por $C$ y es tangente a $AB$ en $D$ se encuentra con los segmentos $AF$ y $BG$ en $H$ e $I$ , respectivamente. Los puntos $H'$ e $I'$ son simétricos a $H$ e $I$ con respecto a $F$ y $G$ , respectivamente. La línea $H'I'$ se encuentra con $CD$ y $FG$ en $Q$ y $M$ , respectivamente. La línea $CM$ se encuentra con $\Gamma$ nuevamente en $P$ . Demuestra que $CQ = QP$ .

Determina las configuraciones planas finitas $C$ que constan de al menos $3$ puntos, satisfaciendo las siguientes condiciones; si $x$ e $y$ son puntos distintos de $C$ , existe $z\in C$ tal que $xyz$ son tres vértices de triángulos equiláteros

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $P$ , $Q$ , $R$ , y $S$ puntos en los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ , y $DA$ , respectivamente. Sea el segmento de línea $PR$ y $QS$ se encuentran en $O$ . Supón que cada uno de los cuadriláteros $APOS$ , $BQOP$ , $CROQ$ , y $DSOR$ tiene un incírculo. Demuestra que las líneas $AC$ , $PQ$ , y $RS$ son concurrentes o paralelas entre sí.

Dado un entero positivo $n$ , muestra que para ningún conjunto de enteros módulo $n$ , cuyo tamaño exceda $1+\sqrt{n+4}$ , es posible que las sumas por pares de pares no ordenados sean todas distintas.

Dado un entero positivo $k$ y un entero $a\equiv 3 \pmod{8}$ , muestra que $a^m+a+2$ es divisible por $2^k$ para algún entero positivo $m$ .

Dado un entero positivo $n$ , determine todas las funciones $f$ desde los primeros $n$ enteros positivos a los enteros positivos, satisfaciendo las siguientes dos condiciones: (1) $\sum_{k=1}^{n}{f(k)}=2n$ ; y (2) $\sum_{k\in K}{f(k)}=n$ para ningún subconjunto $K$ de los primeros $n$ enteros positivos.

Dado cualquier entero positivo $n$ , demuestra que: (a) Cada $n$ puntos en el cuadrado unitario cerrado $[0,1]\times [0,1]$ se pueden unir mediante un camino de longitud menor que $2\sqrt{n}+4$ ; y (b) Existen $n$ puntos en el cuadrado unitario cerrado $[0,1]\times [0,1]$ que no se pueden unir mediante un camino de longitud menor que $\sqrt{n}-1$ .

Demuestra que: (a) Si $(a_n)_{n\geq 1}$ es una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que $\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{a_n}$ es una constante cuando $n$ recorre todos los enteros positivos, entonces esta constante es un entero mayor o igual que $4$ ; y (b) Dado un entero $N\geq 4$ , existe una secuencia estrictamente creciente $(a_n)_{n\geq 1}$ de enteros positivos tal que $\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{a_n}=N$ para todos los índices $n$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Un círculo $\omega$ que pasa por $B$ y $M$ se encuentra con los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $T$ el punto tal que $BPTQ$ es un paralelogramo. Supón que $T$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Determina todos los valores posibles de $\frac{BT}{BM}$ .