Suponga una tabla con una fila e infinitas columnas. Llamamos a cada cuadrado de $1\times1$ una habitación. Sea la tabla finita desde la izquierda. Numeramos las habitaciones de izquierda a $\infty$ . Hemos puesto algunas monedas en algunas habitaciones (Una habitación puede tener más de una moneda.). Podemos hacer $2$ operaciones siguientes: \n$a)$ Si en $2$ habitaciones adyacentes, hay algunas monedas, podemos mover una moneda de la habitación izquierda $2$ habitaciones a la derecha y eliminar una moneda de la habitación derecha.\n$b)$ Si una habitación cuyo número es $3$ o más tiene más de $1$ moneda, podemos mover una de sus monedas $1$ habitación a la derecha y mover otra moneda $2$ habitaciones a la izquierda.\n$i)$ Demuestra que para cualquier configuración inicial de las monedas, después de un número finito de movimientos, no podemos hacer nada más.\n$ii)$ Suponga que hay exactamente una moneda en cada habitación desde $1$ hasta $n$ . Demuestra que al hacer las operaciones permitidas, no podemos poner ninguna moneda en la habitación $n+2$ o en las habitaciones de la derecha.

En el triángulo $ABC$ , $AB>AC$ . Las bisectrices de $\angle{B},\angle{C}$ intersecan los lados $AC,AB$ en $P,Q$ , respectivamente. Sea $I$ el incentro de $\Delta ABC$ . Suponga que $IP=IQ$ . ¿Cuánto vale $\angle A$ ?

Encuentra todos los polinomios $P$ con coeficientes reales tales que $\forall{x\in\mathbb{R}}$ tenemos: \n\[ P(2P(x))=2P(P(x))+2(P(x))^2. \]

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que podamos colocar $n$ cuadrados iguales en el plano tal que sus lados sean horizontales y verticales y la forma después de colocar los cuadrados tenga al menos $3$ ejes.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Dibujamos $3$ triángulos $B'AC,C'AB,A'BC$ en los lados de $\Delta ABC$ en el exterior tales que: \n\[ \angle{B'AC}=\angle{C'BA}=\angle{A'BC}=30^{\circ} \ \ , \ \ \ \angle{B'CA}=\angle{C'AB}=\angle{A'CB}=60^{\circ} \]\nSi $M$ es el punto medio del lado $BC$ , demuestra que $B'M$ es perpendicular a $A'C'$ .

Sea $n$ un entero positivo y $p$ un número primo tal que $np+1$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que $n+1$ se puede escribir como la suma de $p$ cuadrados perfectos.

Se dan dos círculos $ S_1$ y $ S_2$ con igual radio y que se intersecan en dos puntos en el plano. Una línea $ l$ intersecta a $ S_1$ en $ B,D$ y a $ S_2$ en $ A,C$ (el orden de los puntos en la línea es el siguiente : $ A,B,C,D$ ). Se dibujan dos círculos $ W_1$ y $ W_2$ de modo que ambos sean tangentes externamente a $ S_1$ e internamente a $ S_2$ y también tangentes a $ l$ en ambos lados. Suponga que $ W_1$ y $ W_2$ son tangentes. Entonces DEMUESTRE $ AB = CD$ .

El punto $ P$ se toma en el segmento $ BC$ del triángulo escaleno $ ABC$ tal que $ AP \neq AB,AP \neq AC$ . $ l_1,l_2$ son los incentros de los triángulos $ ABP,ACP$ respectivamente. Los círculos $ W_1,W_2$ se dibujan centrados en $ l_1,l_2$ y con radio igual a $ l_1P,l_2P$ , respectivamente. $ W_1,W_2$ se intersecan en $ P$ y $ Q$ . $ W_1$ intersecta a $ AB$ y $ BC$ en $ Y_1( \mbox{la intersección más cercana a B})$ y $ X_1$ , respectivamente. $ W_2$ intersecta a $ AC$ y $ BC$ en $ Y_2(\mbox{la intersección más cercana a C})$ y $ X_2$ , respectivamente. DEMUESTRE LA CONCURRENCIA DE $ PQ,X_1Y_1,X_2Y_2$ .

Se da un trapecio $ ABCD$ en el plano con $ BC||AD$ . Sabemos que las bisectrices de los ángulos del trapecio concurren en $ O$ . Sea $ T$ la intersección de las diagonales $ AC,BD$ . Sea $ Q$ en $ CD$ tal que $ \angle OQD = 90^\circ$ . Demuestre que si el circuncírculo del triángulo $ OTQ$ intersecta a $ CD$ de nuevo en $ P$ entonces $ TP||AD$ .

Se da un trapecio $ ABCD$ . Tenemos las siguientes propiedades : $ AD||BC,DA = DB = DC,\angle BCD = 72^\circ$ . Se toma un punto $ K$ en $ BD$ tal que $ AD = AK,K \neq D$ . Sea $ M$ el punto medio de $ CD$ . $ AM$ intersecta a $ BD$ en $ N$ . DEMUESTRE $ BK = ND$ .