Para un conjunto $S$ de $n$ puntos, sean $d_1 > d_2 >... > d_k > ...$ las distancias entre los puntos. Una función $f_k: S \to N$ se llama función de coloración si, para cualquier par $M,N$ de puntos en $S$ con $MN \le d_k$, toma el valor $f_k(M)+ f_k(N)$ en algún punto. Demuestre que para cada $m \in N$ existen enteros positivos $n,k$ y un conjunto $S$ de $n$ puntos tales que toda función de coloración $f_k$ de $S$ satisface $| f_k(S)| \le m$

La secuencia $ (x_n)_{n \geq 1}$ está definida por: $ x_1=1$ $ x_{n+1}=\frac{x_n}{n}+\frac{n}{x_n}$ Demuestre que $ (x_n)$ aumenta y $ [x_n^2]=n$.

Demuestre que hay infinitos n’s para los cuales existe una partición de $\{1,2,...,3n\}$ en subconjuntos $\{a_1,...,a_n\}, \{b_1,...,b_n\}, \{c_1,...,c_n\}$ tales que $a_i +b_i = c_i$ para todo $i$, y demuestre que hay infinitos $n$’s para los cuales no existe tal partición.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $R$ su circunradio. Considere los discos que tienen $OA,OB,OC$ como diámetros, y sea $\Delta$ el conjunto de puntos en el plano que pertenecen al menos a dos de los discos. Demuestre que el área de $\Delta$ es mayor que $R^2/8$.

Las seis caras de un hexaedro son cuadriláteros. Demuestre que si siete de sus vértices se encuentran en una esfera, entonces el octavo vértice también se encuentra en la esfera.

Encuentre todos los polinomios $P(x)$ tales que $2P(2x^2 -1) = P(x)^2 -1$ para todo $x$.

Demuestre la siguiente igualdad para todos los enteros positivos $m,n$ : $$\sum_{k=0}^{n} {m+k \choose k} 2^{n-k} +\sum_{k=0}^m {n+k \choose k}2^{m-k}= 2^{m+n+1}$$

Sean a,b,n enteros positivos tales que $(a,b) = 1$. Demuestre que si $(x,y)$ es una solución de la ecuación $ax+by = a^n + b^n$ entonces $$\left[\frac{x}{b}\right]+\left[\frac{y}{a}\right]=\left[\frac{a^{n-1}}{b}\right]+\left[\frac{b^{n-1}}{a}\right]$$

Sea $M$ un punto en el borde $CD$ de un tetraedro $ABCD$ tal que los tetraedros $ABCM$ y $ABDM$ tienen las mismas áreas totales. Denotamos por $\pi_{AB}$ el plano $ABM$. Los planos $\pi_{AC},...,\pi_{CD}$ se definen análogamente. Demuestre que los seis planos $\pi_{AB},...,\pi_{CD}$ son concurrentes en un cierto punto $N$, y demuestre que $N$ es simétrico al incentro $I$ con respecto al baricentro $G$.

Demuestre que para cualquier entero positivo $n$, el mínimo común múltiplo de los números $1,2,\ldots,n$ y el mínimo común múltiplo de los números: \[\binom{n}{1},\binom{n}{2},\ldots,\binom{n}{n}\] son iguales si y sólo si $n+1$ es un número primo.