Supongamos que $ABCD$ es un paralelogramo tal que $\angle DAC = 90^o$ . Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $A$ hasta $DC$ , también sea $P$ un punto a lo largo de la línea $AC$ tal que la línea $PD$ es tangente a la circunferencia del triángulo $ABD$ . Demuestra que $\angle PBA = \angle DBH$ .

Tenemos un poliedro todas cuyas caras son triángulos. Sea $P$ un punto arbitrario en uno de los bordes de este poliedro tal que $P$ no es el punto medio ni el punto final de este borde. Asumamos que $P_0 = P$ . En cada paso, conecta $P_i$ al centroide de una de las caras que lo contiene. Esta línea se encuentra con el perímetro de esta cara nuevamente en el punto $P_{i+1}$ . Continúa este proceso con $P_{i+1}$ y la otra cara que contiene a $P_{i+1}$ . Demuestra que al continuar este proceso, no podemos pasar por todas las caras. (El centroide de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.)

Sean $\omega_1,\omega_2$ dos círculos con centros $O_1$ y $O_2$ , respectivamente. Estos dos círculos se intersecan entre sí en los puntos $A$ y $B$ . La línea $O_1B$ interseca a $\omega_2$ por segunda vez en el punto $C$ , y la línea $O_2A$ interseca a $\omega_1$ por segunda vez en el punto $D$ . Sea $X$ la segunda intersección de $AC$ y $\omega_1$ . También $Y$ es el segundo punto de intersección de $BD$ y $\omega_2$ . Demuestra que $CX = DY$ .

En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $P$ . Sabemos que $\angle DAC = 90^o$ y $2 \angle ADB = \angle ACB$ . Si tenemos $\angle DBC + 2 \angle ADC = 180^o$ , demuestra que $2AP = BP$ .

Hay tres rectángulos en la siguiente figura. Se muestran las longitudes de algunos segmentos. Encuentra la longitud del segmento $XY$ .

Hay algunos segmentos en el plano de tal manera que no hay dos de ellos que se intersequen entre sí (ni siquiera en los puntos finales). Decimos que el segmento $AB$ rompe el segmento $CD$ si la extensión de $AB$ corta a $CD$ en algún punto entre $C$ y $D$ . $a)$ ¿Es posible que cada segmento, cuando se extiende desde ambos extremos, rompa exactamente un segmento diferente desde cada lado? $b)$ Un segmento se llama rodeado si desde ambos lados de él, hay exactamente un segmento que lo rompe. (p. ej., el segmento $AB$ en la figura.) ¿Es posible que todos los segmentos estén rodeados?

Hay dos círculos con centros $O_1,O_2$ que se encuentran dentro del círculo $\omega$ y son tangentes a él. La cuerda $AB$ de $\omega$ es tangente a estos dos círculos de tal manera que se encuentran en lados opuestos de esta cuerda. Demuestra que $\angle O_1AO_2 + \angle O_1BO_2 > 90^\circ$ .

En la figura dada, $ABCD$ es un paralelogramo. Sabemos que $\angle D = 60^\circ$ , $AD = 2$ y $AB = \sqrt3 + 1$ . El punto $M$ es el punto medio de $AD$ . El segmento $CK$ es la bisectriz del ángulo $C$ . Encuentra el ángulo $CKB$ .

El hexágono convexo $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ se encuentra en el interior del hexágono convexo $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ tal que $A_1A_2 \parallel B_1B_2$ , $A_2A_3 \parallel B_2B_3$ , ..., $A_6A_1 \parallel B_6B_1$ . Demuestra que las áreas de los hexágonos simples $A_1B_2A_3B_4A_5B_6$ y $B_1A_2B_3A_4B_5A_6$ son iguales. (Un hexágono simple es un hexágono que no se interseca a sí mismo.)

Como se muestra a continuación, hay un papel de $40\times30$ con un rectángulo relleno de $10\times5$ dentro de él. Queremos recortar el rectángulo relleno del papel usando cuatro cortes rectos. Cada corte recto es una línea recta que divide el papel en dos pedazos, y nos quedamos con el pedazo que contiene el rectángulo relleno. El objetivo es minimizar la longitud total de los cortes rectos. ¿Cómo lograr este objetivo y cuál es esa longitud minimizada? Muestra los cortes correctos y escribe la respuesta final. No es necesario probar la respuesta.