Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2015 Problema 7
Sean $a,b,c>0$ tales que $a \geq bc^2$, $b \geq ca^2$ y $c \geq ab^2$. Encontrar el valor máximo que la expresión : $$E=abc(a-bc^2)(b-ca^2)(c-ab^2)$$ puede alcanzar.
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2015 Problema 6
Encontrar todos los enteros positivos $N$ con un número par de dígitos con la propiedad de que si multiplicamos los dos números formados al cortar el número por la mitad obtenemos un número que es un divisor de $N$ (por ejemplo, $12$ funciona porque $1 \cdot 2$ divide a $12$).
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2015 Problema 5
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con diagonales no perpendiculares y con los lados $AB$ y $CD$ no paralelos. Denotemos por $O$ la intersección de las diagonales, $H_1$ el ortocentro del triángulo $AOB$ y $H_2$ el ortocentro del triángulo $COD$. Denotemos también con $M$ el punto medio del lado $AB$ y con $N$ el punto medio del lado $CD$. Demostrar que $H_1H_2$ y $MN$ son paralelos si y sólo si $AC=BD$
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2015 Problema 4
Resolver en enteros no negativos la siguiente ecuación : $$21^x+4^y=z^2$$
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2015 Problema 3
Sean $x$, $y$, $z>0$. Demostrar que : $$\frac{x^3}{z^3+x^2y}+\frac{y^3}{x^3+y^2z}+\frac{z^3}{y^3+z^2x} \geq \frac{3}{2}$$
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2015 Problema 2
Encontrar el entero positivo más pequeño $n$ tal que si coloreamos de rojo $n$ vértices arbitrarios del cubo, habrá un vértice del cubo que tenga los tres vértices adyacentes a él coloreados de rojo.
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2015 Problema 1
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \neq AC$. Sea también $M$ el punto medio del lado $BC$, $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, $O_1$ el punto medio del segmento $AH$ y $O_2$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $BCH$. Demostrar que $O_1AMO_2$ es un paralelogramo.
Olimpiada de Selección del Equipo Rumano para la IMO 1990 Problema 11
En un grupo de $n$ personas, (i) cada persona conoce exactamente a $k$ otros, (ii) dos personas cualesquiera que se conocen tienen exactamente $l$ conocidos comunes, (iii) dos personas cualesquiera que no se conocen tienen exactamente $m$ conocidos comunes. Demuestre que $m(n-k -1) = k(k -l -1)$.
Olimpiada de Selección del Equipo Rumano para la IMO 1990 Problema 10
Sean $p,q$ números primos positivos y suponga que $q>5$. Demuestre que si $q \mid 2^{p}+3^{p}$, entonces $q>p$.
Olimpiada de Selección del Equipo Rumano para la IMO 1990 Problema 9
La distancia entre dos cualesquiera de seis puntos dados en el plano es al menos $1$. Demuestre que la distancia entre algunos dos puntos es al menos $\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{2}}$