Sea $\alpha $ un ángulo tal que $\cos \alpha = \frac pq$ , donde $p$ y $q$ son dos enteros. Pruebe que el número $q^n \cos n \alpha$ es un entero.

Para un triángulo $\triangle ABC$ con un ángulo obtuso $\angle A$, sean $E , F$ los pies de las alturas desde $B , C$ en los lados $AC , AB$ respectivamente. Las tangentes desde $B , C$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ se intersectan con la línea $EF$ en los puntos $K , L$ respectivamente y sabemos que $\angle CLB=135$. El punto $R$ se encuentra en el segmento $BK$ de tal manera que $KR=KL$ y sea $S$ un punto en la línea $BK$ tal que $K$ está entre $B , S$ y $\angle BLS=135$. Demuestre que el círculo con diámetro $RS$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$. Propuesto por Mehran Talaei Shayan-TayefehIR view topic

Sean $n<k$ dos números naturales y suponga que Sepehr tiene $n$ elementos químicos, $2k$ gramos de cada uno, divididos arbitrariamente en $2k$ recipientes. Encuentre el número más pequeño $b$ tal que siempre sea posible para Sepehr elegir $b$ recipientes, conteniendo al menos $2$ gramos de cada elemento en total. Propuesto por Josef Tkadlec & Morteza Saghafian Shayan-TayefehIR view topic

Sea $\{a_n\}$ una sucesión de números naturales tal que cada número primo mayor que $1402$ divide a un miembro de ella. Demuestre que el conjunto de divisores primos de los miembros de la sucesión $\{b_n\}$ la cual $b_n=a_1a_2...a_n-1$, es infinito. Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR view topic

Demuestre que para cualquier número natural $a , b , c$ tal que $b>a>1$ y $gcd(c,ab)=1$, existe un número natural $n$ tal que : $$c | \binom{b^n}{a^n}$$ Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR view topic

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{Q}[x] \to \mathbb{Q}[x]$ tales que se cumplen las dos siguientes condiciones: $$\forall P , Q \in \mathbb{Q}[x] : f(P+Q)=f(P)+f(Q)$$ $$\forall P \in \mathbb{Q}[x] : gcd(P , f(P))=1 \iff$$ $P$ es libre de cuadrados. Un polinomio libre de cuadrados con coeficientes racionales es un polinomio tal que no existe el cuadrado de un polinomio no constante con coeficientes racionales que lo divida. Propuesto por Sina Azizedin Shayan-TayefehIR view topic

Sean $\triangle ABC$ y $\triangle C'B'A$ dos triángulos congruentes (con este orden y orientación). Defina el punto $M$ como el punto medio del segmento $AB$ y suponga que la extensión de $CB'$ desde $B'$ pasa por $M$, si $F$ es un punto en el arco menor $MC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle BMC$ tal que $\angle FB'A=90$ y $\angle C'CB' \neq 90$, entonces demuestre que $\angle B'C'C=\angle CAF$. Propuesto por Alireza Dadgarnia Shayan-TayefehIR view topic

Sea $A_1A_2...A_{99}$ un $99-$ágono regular y el punto $A_{100}$ sea su centro. Encuentre el número natural más pequeño posible $n$, tal que Parsa pueda colorear todos los segmentos $A_iA_j$ ( $1 \le i < j \le 100$ ) con uno de $n$ colores de tal manera que no haya dos segmentos homocrómaticos que se intersecten o compartan un vértice. Propuesto por Josef Tkadlec - Czech Republic Shayan-TayefehIR view topic

Suponga que tenemos dos números naturales $x , y \le 100!$ con valores indeterminados. Demuestre que existen números naturales $m , n$ tales que los valores de $x , y$ quedan determinados de forma única de acuerdo al valor de $\varphi(d(my))+d(\varphi(nx))$ . (para cada número natural $n$, $d(n)$ es el número de sus divisores positivos y $\varphi(n)$ es el número de los números menores que $n$ que son relativamente primos con $n$.) Propuesto por Mehran Talaei Shayan-TayefehIR view topic

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para cualquier número real $x , y$ esta igualdad se cumple : $$f(yf(x)+f(x)f(y))=xf(y)+f(xy)$$ Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR view topic