Sean $a,b,c,d$ enteros positivos, y sea $p=a+b+c+d$. Demuestra que si $p$ es un primo, entonces $p$ no es un divisor de $ab-cd$.

Sea $VABCD$ una pirámide regular, que tiene la base cuadrada $ABCD$. Supón que en la línea $AC$ se encuentra un punto $M$ tal que $VM=MB$ y $(VMB)\perp (VAB)$. Demuestra que $4AM=3AC$.

¿Cuántos números de cuatro dígitos $\overline{abcd}$ satisfacen simultáneamente las igualdades $a+b=c+d$ y $a^2+b^2=c^2+d^2$?

Sean $a,b,c$ enteros mayores que $1$. Demuestra que \[a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\le (a+b+c-4)(a+b+c-5)+4.\]

En el triángulo isósceles $ABC$, con $AB=AC$, la bisectriz de $\angle B$ se encuentra con el lado $AC$ en $B'$. Supón que $BB'+B'A=BC$. Encuentra los ángulos del triángulo $ABC$.

Cada uno de los pequeños cuadrados de una tabla de $50\times 50$ está coloreado en rojo o azul. Inicialmente todos los cuadrados son rojos. Un paso significa cambiar el color de todos los cuadrados en una fila o en una columna. \na) Demuestra que no existe una secuencia de pasos, tal que al final haya exactamente $2011$ cuadrados azules. \nb) Describe una secuencia de pasos, tal que al final exactamente $2010$ cuadrados sean azules.

Sea $ABCD$ un rectángulo de centro $O$, tal que $\angle DAC=60^{\circ}$. La bisectriz de $\angle DAC$ se encuentra con $DC$ en $S$. Las líneas $OS$ y $AD$ se encuentran en $L$, y las líneas $BL$ y $AC$ se encuentran en $M$. Demuestra que las líneas $SM$ y $CL$ son paralelas.

Sea $S$ un subconjunto con $673$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots ,2010\}$. Demuestra que se pueden encontrar dos elementos distintos de $S$, digamos $a$ y $b$, tales que $6$ divide a $a+b$.

Demuestre que hay un número infinito de enteros positivos $t$ tales que ninguna de las ecuaciones $$ \begin{cases} x^2 + y^6 = t \ x^2 + y^6 = t + 1 \ x^2 - y^6 = t \ x^2 - y^6 = t + 1 \end{cases}$$ tiene soluciones $(x, y) \in Z \times Z$ .

a) Encuentre el valor más grande posible del número $x_1x_2 + x_2x_3 + ... + x_{n-1}x_n$, si $x_1, x_2, ... , x_n$ ( $n \ge 2$ ) son enteros no negativos y su suma es $2011$. b) Encuentre los números $x_1, x_2, ... , x_n$ para los cuales se obtiene el valor máximo determinado en a)