Sean $A,B,C\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tales que $ABC=O_n$ y $\text{rank}\ B=1$. Demuestra que $AB=O_n$ o $BC=O_n$.

Sean $a,b\in \mathbb{R}$ tales que $b>a^2$. Encuentra todas las matrices $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ tales que $\det(A^2-2aA+bI_2)=0$.

En el exterior de un triángulo no equilátero $ABC$ considera los triángulos similares $ABM,BCN$ y $CAP$, tales que el triángulo $MNP$ es equilátero. Encuentra los ángulos de los triángulos $ABM,BCN$ y $CAP$.

En el plano se dan $100$ puntos, tales que no hay tres de ellos en la misma línea. Los puntos están dispuestos en $10$ grupos, cualquier grupo contiene al menos $3$ puntos. Dos puntos cualesquiera en el mismo grupo están unidos por un segmento. \na) Determina cuál de las posibles disposiciones en $10$ de tales grupos es la que da el número mínimo de triángulos. \nb) Demuestra que existe una disposición en tales grupos donde cada segmento puede ser coloreado con uno de tres colores dados y ningún triángulo tiene todos los lados del mismo color.

Considera $v,w$ dos números complejos no nulos distintos. Demuestra que \[|zw+\bar{w}|\le |zv+\bar{v}|,\] para cualquier $z\in\mathbb{C},|z|=1$, si y solo si existe $k\in [-1,1]$ tal que $w=kv$.

Sea $(a_n)_{n\ge0}$ una secuencia de números reales positivos tal que \[\sum_{k=0}^nC_n^ka_ka_{n-k}=a_n^2,\ \text{para cualquier }n\ge 0.\] Demuestra que $(a_n)_{n\ge0}$ es una secuencia geométrica.

Considera el conjunto $\mathcal{F}$ de funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ (donde $\mathbb{N}$ es el conjunto de enteros no negativos) que tienen la propiedad de que \[f(a^2-b^2)=f(a)^2-f(b)^2,\ \text{para todos los }a,b\in\mathbb{N},\ a\ge b.\] \na) Determina el conjunto $\{f(1)\mid f\in\mathcal{F}\}$. \nb) Demuestra que $\mathcal{F}$ tiene exactamente dos elementos.

Para cualquier entero $n\ge 2$ denotamos por $A_n$ el conjunto de soluciones de la ecuación \[x=\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{n}\right\rfloor .\] \na) Determina el conjunto $A_2\cup A_3$. \nb) Demuestra que el conjunto $A=\bigcup_{n\ge 2}A_n$ es finito y encuentra $\max A$.

Demuestra que hay una similitud entre un triángulo $ABC$ y el triángulo que tiene como lados las medianas del triángulo $ABC$ si y solo si los cuadrados de las longitudes de los lados del triángulo $ABC$ forman una secuencia aritmética.

En un triángulo $ABC$ denotamos por $D,E,F$ los puntos donde las bisectrices de $\angle CAB,\angle ABC,\angle BCA$ respectivamente se encuentran con su circuncírculo. \na) Demuestra que el ortocentro del triángulo $DEF$ coincide con el incentro del triángulo $ABC$. \nb) Demuestra que si $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=0$, entonces el triángulo $ABC$ es equilátero.