Sea $ ABC$ un triángulo con circuncentro $ O$. Los puntos $ P$ y $ Q$ son puntos interiores de los lados $ CA$ y $ AB$ respectivamente. Sean $ K,L$ y $ M$ los puntos medios de los segmentos $ BP,CQ$ y $ PQ$. respectivamente, y sea $ \Gamma$ el círculo que pasa por $ K,L$ y $ M$. Suponga que la línea $ PQ$ es tangente al círculo $ \Gamma$. Demuestre que $ OP = OQ.$

Para cada entero positivo $n$ sea $\tau (n)$ denota el número de sus factores positivos. Determine todos los $n \in N$ que satisfacen la igualdad $\tau (n) = \frac{n}{3}$

Sea $m$ un entero positivo. Determine el entero positivo más pequeño $n$ para el cual existen números reales $x_1, x_2,...,x_n \in (-1, 1)$ tales que $|x_1| + |x_2| +...+ |x_n| = m + |x_1 + x_2 + ... + x_n|$ .

Sea $ABC$ un triángulo, $I_a$ el centro del excírculo al lado $BC$, y $M$ su reflexión a través de $BC$. Demuestre que $AM$ es paralelo a la línea de Euler del triángulo $BCI_a$.

Encuentre todos los conjuntos finitos $A$ de números reales positivos que tienen al menos dos elementos, con la propiedad de que $a^2 + b^2 \in A$ para cada $a, b \in A$ con $a \ne b$

Se dice que un entero positivo $n > 1$ tiene la propiedad ( $p$ ) si en su factorización prima $n = p_1^{a_1} \cdot ... \cdot p_j^{a_j}$ al menos uno de los factores primos $p_1, ... , p_j$ tiene el exponente igual a $2$. a) Encuentre el número más grande $k$ para el cual existen $k$ enteros positivos consecutivos que no tienen la propiedad ( $p$ ). b) Demuestre que hay un número infinito de enteros positivos $n$ tales que $n, n + 1$ y $n + 2$ tienen la propiedad ( $p$ ).

La medida del ángulo $\angle A$ del triángulo acutángulo $ABC$ es $60^o$, e $HI = HB$, donde $I$ y $H$ son el incentro y el ortocentro del triángulo $ABC$. Encuentre la medida del ángulo $\angle B$.

Consideramos un cuadrado de $n \times n$ ( $n \in N, n \ge 2$ ) dividido en $n^2$ cuadrados unitarios. Determine todos los valores de $k \in N$ para los cuales podemos escribir un número real en cada uno de los cuadrados unitarios de tal manera que la suma de los $n^2$ números sea un número positivo, mientras que la suma de los números de los cuadrados unitarios de cualquier cuadrado de $k \times k$ sea un número negativo.

a) Demuestre que si la suma de los dígitos no nulos $a_1, a_2, ... , a_n$ es un múltiplo de $27$, entonces es posible permutar estos dígitos para obtener un número de $n$ dígitos que es un múltiplo de $27$. b) Demuestre que si los dígitos no nulos $a_1, a_2, ... , a_n$ tienen la propiedad de que todo número de n dígitos obtenido al permutar estos dígitos es un múltiplo de $27$, entonces la suma de estos dígitos es un múltiplo de $27$

Determine a) el número más pequeño b) el número más grande $n \ge 3$ de enteros no negativos $x_1, x_2, ... , x_n$, teniendo la suma $2011$ y satisfaciendo: $x_1 \le | x_2 - x_3 | , x_2 \le | x_3 - x_4 | , ... , x_{n-2} \le | x_{n-1} -x_n | , x_{n-1} \le | x_n - x_1 |$ y $x_n \le | x_1 - x_2 | $ .