¿Cuál es el área encerrada entre la gráfica de $y=\lfloor 10x \rfloor + \sqrt{1-x^2}$ en el intervalo $[0,1]$ y el eje $x$?

Sea $n$ el entero positivo más pequeño tal que el resto de $3n+45$, cuando se divide por $1060$, es $16$. Encuentra el resto de $18n+17$ al dividirlo por $1920$.

Hay $128$ asientos numerados dispuestos alrededor de un círculo en una palestra. La primera persona en entrar al lugar se sentaría en el asiento número $1$. Dado que una enfermedad contagiosa está infectando a la gente de la ciudad, cada persona que entra en la palestra se sentaría en un asiento cuya distancia sea la más larga al asiento ocupado más cercano. Si hay varios asientos de este tipo, la persona recién ingresada se sentaría en el asiento con el número más pequeño. ¿Cuál es el número del asiento en el que se sienta la persona número $39$?

Hay $5$ puntos en el plano, de los cuales no hay tres que sean colineales. Dibujamos todos los segmentos cuyos vértices son estos puntos. ¿Cuál es el número mínimo de nuevos puntos hechos por la intersección de los segmentos dibujados?

¿Cuántos números de $8$ dígitos en base $4$ formados por los dígitos $1,2, 3$ son divisibles por $3$?

Una fábrica empaqueta sus productos en cajas cúbicas. En una tienda, colocan $512$ de estas cajas cúbicas juntas para formar un cubo grande de $8\times 8 \times 8$. Cuando la temperatura supera un límite en la tienda, es necesario separar el conjunto de $512$ cajas usando placas horizontales y verticales para que cada caja tenga al menos una cara que no toque otras cajas. ¿Cuál es el número mínimo de placas necesarias para este propósito?

En un pueblo con una población de $1000$, doscientas personas han sido infectadas por una enfermedad. Se puede hacer una prueba de diagnóstico para verificar si una persona está infectada, pero el resultado podría ser erróneo. Es decir, existe una probabilidad del $5\%$ de que el resultado de la prueba de una persona infectada muestre que no está infectada y una probabilidad del $5\%$ de que el resultado de la prueba de una persona sana muestre que está infectada. Elegimos al azar a alguien de la población de este pueblo y le hacemos la prueba de diagnóstico. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba declare que esa persona está infectada?

En un grupo de $2021$ personas, $1400$ de ellas son $\emph{saboteadores}$ . Sherlock quiere encontrar un saboteador. Hay algunas misiones que cada una necesita exactamente $3$ personas para ser realizadas. ¡Una misión falla si al menos uno de los tres participantes en esa misión es un saboteador! En cada ronda, Sherlock elige $3$ personas, las envía a una misión y ve si falla o no. ¿Cuál es el número mínimo de rondas que necesita para lograr su objetivo?

Sea $\mathcal{P}$ un polígono convexo y $\textbf{T}$ un triángulo con vértices entre los vértices de $\mathcal{P}$ . Al eliminar $\textbf{T}$ de $\mathcal{P}$ , terminamos con $0, 1, 2,$ o $3$ polígonos más pequeños (posiblemente con vértices compartidos) que llamamos el efecto de $\textbf{T}$ . Una triangulación de $P$ es una forma de diseccionarlo en algunos triángulos usando algunas diagonales no intersecantes. Llamamos a una triangulación de $\mathcal{P}$ $\underline{\text{hermosa}}$ , si para cada uno de sus triángulos, el efecto de este triángulo contiene exactamente un polígono con un número impar de vértices. Demuestra que una triangulación de $\mathcal{P}$ es hermosa si y solo si podemos eliminar algunas de sus diagonales y terminar con todas las regiones como cuadriláteros.

Por una $\emph{baldosa}$ nos referimos a un poliomino (es decir, un conjunto finito conectado por bordes de celdas en la cuadrícula infinita). Hay muchas maneras de colocar una baldosa en la tabla infinita (se permite la rotación pero no podemos voltear la baldosa). Llamamos a una baldosa $\textbf{T}$ especial si podemos colocar una permutación de los enteros positivos en todas las celdas de la tabla infinita de tal manera que cada número sería máximo entre todos los números que la baldosa cubre en como máximo una colocación de la baldosa.\n1. Demuestra que cada cuadrado es una baldosa especial.\n2. Demuestra que cada rectángulo no cuadrado no es una baldosa especial.\n3. Demuestra que la baldosa $\textbf{T}$ es especial si y solo si se ve igual después de una rotación de $90^\circ$.