Para cada entero positivo $N\geq 2$ con factorización prima $N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ definimos \[f(N):=1+p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_ka_k.\] Sea $x_0\geq 2$ un entero positivo. Definimos la sucesión $x_{n+1}=f(x_n)$ para todo $n\geq 0.$ Demuestra que esta sucesión es eventualmente periódica y determina su período fundamental.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $O$ la intersección de sus diagonales. Sean $P,Q,R,$ y $S$ las proyecciones de $O$ sobre $AB,BC,CD,$ y $DA$ respectivamente. Demuestra que \[2(OP+OQ+OR+OS)\leq AB+BC+CD+DA.\]

Al principio, en una pizarra, el número $1$ está escrito $100$ veces. Cada minuto, elegimos un número $a$ de la pizarra, lo borramos y escribimos $a/3$ tres veces en su lugar. Decimos que un entero positivo $n$ es persistente si después de cualquier cantidad de tiempo, independientemente de los números que elijamos, podemos encontrar al menos $n$ números iguales en la pizarra. Encuentra el mayor número persistente.

Sea $M$ un conjunto finito de números reales que tiene las siguientes propiedades: $M$ tiene al menos $4$ elementos, y existe una función biyectiva $f:M\to M$ , diferente de la identidad, tal que $ab\leq f(a)f(b)$ para todo $a\neq b\in M.$ Demuestra que la suma de los elementos de $M$ es $0.$

Sea $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$ una función continua que tiene derivada finita en $0$, y \[I(h)=\int^h_{-h}f(x)\text{ d}x,\ h\in [0,1].\] Demuestra que \na) existe $M>0$ tal que $|I(h)-2f(0)h|\le Mh^2$, para cualquier $h\in [0,1]$. \nb) la secuencia $(a_n)_{n\ge 1}$, definida por $a_n=\sum_{k=1}^n\sqrt{k}|I(1/k)|$, es convergente si y solo si $f(0)=0$.

Sea $G$ un grupo finito de orden $n$. Define el conjunto \[H=\{x:x\in G\text{ y }x^2=e\},\] donde $e$ es el elemento neutro de $G$. Sea $p=|H|$ la cardinalidad de $H$. Demuestra que \na) $|H\cap xH|\ge 2p-n$, para cualquier $x\in G$, donde $xH=\{xh:h\in H\}$. \nb) Si $p>\frac{3n}{4}$, entonces $G$ es conmutativo. \nc) Si $\frac{n}{2}<p\le\frac{3n}{4}$, entonces $G$ es no conmutativo.

Decimos que un anillo $A$ tiene la propiedad $(P)$ si cualquier elemento no nulo puede escribirse de forma única como la suma de un elemento invertible y un elemento no invertible. \na) Si en $A$, $1+1=0$, demuestra que $A$ tiene la propiedad $(P)$ si y solo si $A$ es un campo. \nb) Da un ejemplo de un anillo que no es un campo, que contiene al menos dos elementos, y que tiene la propiedad $(P)$.

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función monótona y $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por \[F(x)=\int_0^xf(t)\ \text{d}t.\] Demuestra que si $F$ tiene una derivada finita, entonces $f$ es continua.

Sea $a\in \mathbb{R}_+$ y define la secuencia de números reales $(x_n)_n$ por $x_1=a$ y $x_{n+1}=\left|x_n-\frac{1}{n}\right|,\ n\ge 1$. Demuestra que la secuencia es convergente y encuentra su límite.

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow [0,\infty)$. Demuestra que $f(x+y)\ge (y+1)f(x),\ (\forall)x\in \mathbb{R}$ si y solo si la función $g:\mathbb{R}\rightarrow [0,\infty), \ g(x)=e^{-x}f(x), (\forall)x\in \mathbb{R}$ es creciente.