Ali tiene $6$ tipos de cuadrados de $2\times2$ con celdas coloreadas en blanco o negro, y se los ha presentado a Mohammad como mosaicos prohibidos. $a)$ Demuestra que Mohammad puede colorear las celdas de la tabla infinita (desde cada $4$ lados) en blanco o negro de tal manera que no haya mosaicos prohibidos en la tabla. $b)$ Demuestra que Ali puede presentar $7$ mosaicos prohibidos de tal manera que Mohammad no pueda lograr su objetivo.

Considera una secuencia $\{a_i\}^\infty_{i\ge1}$ de enteros positivos. Para todos los enteros positivos $n$ demuestra que existen infinitamente muchos enteros positivos $k$ tales que no existe un par $(m,t)$ de enteros positivos donde $m>n$ y $$kn+a_n=tm(m+1)+a_m$$

Sea $n$ un entero positivo. Considere números primos $p_1,\dots ,p_k$. Sean $a_1,\dots,a_m$ todos los enteros positivos menores que $n$ tales que no son divisibles por $p_i$ para todo $1 \le i \le n$. Demuestra que si $m\ge 2$ entonces $$\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_m}$$ no es un entero.

Ali tiene $6$ tipos de cuadrados de $2\times2$ con celdas coloreadas en blanco o negro, y se los ha presentado a Mohammad como mosaicos prohibidos. $a)$ Demuestra que Mohammad puede colorear las celdas de la tabla infinita (desde cada $4$ lados) en blanco o negro de tal manera que no haya mosaicos prohibidos en la tabla. $b)$ Demuestra que Ali puede presentar $7$ mosaicos prohibidos de tal manera que Mohammad no pueda lograr su objetivo.

Un ángulo se considera como un punto y dos rayos que salen de él. Encuentra el valor más grande de $n$ tal que sea posible colocar $n$ ángulos de $60$ grados en el plano de tal manera que cualquier par de estos ángulos tenga exactamente $4$ puntos de intersección.

Hay una cinta con $n^2$ celdas etiquetadas por $1,2,\ldots,n^2$. Suponga que $x,y$ son dos enteros positivos distintos menores o iguales a $n$. Queremos colorear las celdas de la cinta de tal manera que dos celdas cualesquiera con una diferencia de etiqueta de $x$ o $y$ tengan colores diferentes. Encuentra el número mínimo de colores necesarios para hacerlo.

Una escuela tiene $n$ estudiantes y algunas super clases son proporcionadas para ellos. Cada estudiante puede participar en cualquier número de clases que quiera. Cada clase tiene al menos dos estudiantes participando en ella. Sabemos que si dos clases diferentes tienen al menos dos estudiantes en común, entonces el número de estudiantes en la primera de estas dos clases es diferente del número de estudiantes en la segunda. Demuestra que el número de clases no es mayor que $\left(n-1\right)^2$ .

En el triángulo $ABC$ tenemos $\angle A=\frac{\pi}{3}$ . Construye $E$ y $F$ en la continuación de $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $BE=CF=BC$ . Supón que $EF$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $\triangle ACE$ en $K$ . ( $K\not \equiv E$ ) . Demuestra que $K$ está en la bisectriz de $\angle A$ .

Sea $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ un polinomio con coeficientes reales tal que \[\min\{d,b+d\}> \max\{\left|{c}\right|,\left|{a+c}\right|\}\] Demuestra que $P(x)$ no tiene una raíz real en $[-1,1]$ .

Los círculos $W_1,W_2$ se encuentran en $D$ y $P$ . $A$ y $B$ están en $W_1,W_2$ respectivamente, tales que $AB$ es tangente a $W_1$ y $W_2$ . Supón que $D$ está más cerca que $P$ a la línea $AB$ . $AD$ se encuentra con el círculo $W_2$ por segunda vez en $C$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Demuestra que $\angle{DPM}=\angle{BDC}$ .