Encuentre todas las $f : N \longmapsto N$ tales que existe $k \in N$ y un primo $p$ tal que: $\forall n \geq k \ f(n+p)=f(n)$ y también si $m \mid n$ entonces $f(m+1) \mid f(n)+1$

Suponga que hay 18 faros en el Golfo Pérsico. Cada uno de los faros ilumina un ángulo de tamaño 20 grados. Demuestre que podemos elegir las direcciones de los faros de tal manera que todo el Golfo Pérsico (siempre Pérsico) esté iluminado.

Asuma que $ABC$ es un triángulo isósceles tal que $AB=AC$. Suponga que $P$ es un punto en la extensión del lado $BC$. $X$ e $Y$ son puntos en $AB$ y $AC$ tales que: \[PX || AC \ , \ PY ||AB ]\nAdemás, $T$ es el punto medio del arco $BC$. Demuestre que $PT \perp XY$

Suponga que $ a_1$ , $ a_2$ , ..., $ a_n$ son números reales positivos tales que $ a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$ . Sea \[ {{a_1 + a_2 + \dots + a_n} \over n} = m; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2} \over n} = 1. \]\nSuponga que, para algún $ i$ , sabemos que $ a_i \leq m$ . Demuestre que: \[ n - i \geq n \left(m - a_i\right)^2 \]

$30$ equipos de voleibol han participado en una liga. Cualquier par de equipos ha jugado un partido entre sí exactamente una vez. Al final de la liga, un partido se llama inusual si al final de la liga, el ganador del partido tiene una menor cantidad de victorias que el perdedor del partido. Un equipo se llama asombroso si todos sus partidos son partidos inusuales. Encuentra el número máximo de equipos asombrosos.

Dos personas están jugando el siguiente juego en una tabla de $n\times m$, con líneas dibujadas: La Persona $\#1$ comienza el juego. Cada persona, en su movimiento, dobla la tabla en una de sus líneas. El que no pueda doblar la tabla en su turno pierde el juego. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

Hay $100$ puntos en la circunferencia de un círculo, etiquetados arbitrariamente por $1,2,\ldots,100$. Para cada tres puntos, llame a su triángulo en sentido horario si el orden creciente de ellos está en sentido horario. Demuestra que es imposible tener exactamente $2017$ triángulos en sentido horario.

Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos. Demuestra que $$\sum_{cyc} \frac {a^3b}{(3a+2b)^3} \ge \sum_{cyc} \frac {a^2bc}{(2a+2b+c)^3} $$

Dos personas están jugando el siguiente juego en una tabla de $n\times m$, con líneas dibujadas: La Persona $\#1$ comienza el juego. Cada persona, en su movimiento, dobla la tabla en una de sus líneas. El que no pueda doblar la tabla en su turno pierde el juego. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

Sea $\mathbb{R}^{\ge 0}$ el conjunto de todos los números reales no negativos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}^{\ge 0} \to \mathbb{R}^{\ge 0}$ tales que $$ x+2 \max\{y,f(x),f(z)\} \ge f(f(x))+2 \max\{z,f(y)\}$$ para todos los números reales no negativos $x,y$ y $z$.