Para cada entero $n \geq 2$, sea $F(n)$ denote el mayor factor primo de $n$. Un par extraño es un par de primos distintos $p$ y $q$ tal que no existe un entero $n \geq 2$ para el cual $F(n)F(n+1)=pq$. Demostrar que existen infinitos pares extraños.

Un punto reticular en el plano cartesiano es un punto cuyas coordenadas son ambas enteras. Un polígono reticular es un polígono todos cuyos vértices son puntos reticulares. Sea $\Gamma$ un polígono reticular convexo. Demostrar que $\Gamma$ está contenido en un polígono reticular convexo $\Omega$ tal que los vértices de $\Gamma$ se encuentran todos en la frontera de $\Omega$, y exactamente un vértice de $\Omega$ no es un vértice de $\Gamma$.

Sea $\mathbb N$ el conjunto de todos los enteros positivos. Un subconjunto $A$ de $\mathbb N$ es libre de sumas si, siempre que $x$ e $y$ son (no necesariamente distintos) miembros de $A$, su suma $x+y$ no pertenece a $A$. Determinar todas las funciones sobreyectivas $f:\mathbb N\to\mathbb N$ tales que, para cada subconjunto $A$ de $\mathbb N$ libre de sumas, la imagen $\{f(a):a\in A\}$ también es libre de sumas. Nota: una función $f:\mathbb N\to\mathbb N$ es sobreyectiva si, para cada entero positivo $n$, existe un entero positivo $m$ tal que $f(m)=n$.

Sea $n\ge 3$ un entero. En un país hay $n$ aeropuertos y $n$ aerolíneas que operan vuelos de ida y vuelta. Para cada aerolínea, existe un entero impar $m\ge 3$, y $m$ aeropuertos distintos $c_1, \dots, c_m$, donde los vuelos ofrecidos por la aerolínea son exactamente aquellos entre los siguientes pares de aeropuertos: $c_1$ y $c_2$ ; $c_2$ y $c_3$ ; $\dots$ ; $c_{m-1}$ y $c_m$ ; $c_m$ y $c_1$ . Demostrar que existe una ruta cerrada que consta de un número impar de vuelos donde no hay dos vuelos operados por la misma aerolínea.

Sea $N \geq 2$ un entero, y sean $\mathbf a$ $= (a_1, \ldots, a_N)$ y $\mathbf b$ $= (b_1, \ldots b_N)$ sucesiones de enteros no negativos. Para cada entero $i \not \in \{1, \ldots, N\}$, sea $a_i = a_k$ y $b_i = b_k$, donde $k \in \{1, \ldots, N\}$ es el entero tal que $i-k$ es divisible por $n$. Decimos que $\mathbf a$ es $\mathbf b$ - armónica si cada $a_i$ es igual a la siguiente media aritmética: \[a_i = \frac{1}{2b_i+1} \sum_{s=-b_i}^{b_i} a_{i+s}.\] Supongamos que ni $\mathbf a$ ni $\mathbf b$ es una sucesión constante, y que tanto $\mathbf a$ es $\mathbf b$ - armónica como $\mathbf b$ es $\mathbf a$ - armónica. Demostrar que al menos $N+1$ de los números $a_1, \ldots, a_N,b_1, \ldots, b_N$ son cero.

Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo recto en $C$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$ a $AB$. La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Sean $E$ y $F$ las reflexiones de $C$ en las líneas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ las reflexiones de $D$ en las líneas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $A_1EI$, $B_1FI$ y $C_1KL$ tienen un punto en común.

Sea $p\geq 3$ un entero positivo impar. Demuestra que $p$ es primo si y solo si como sea que elijamos $(p+1)/2$ enteros positivos distintos por pares, podemos encontrar dos de ellos, $a$ y $b$ , tales que $(a+b)/\gcd(a,b)\geq p.$

Sea dado un paralelogramo $ ABCD$ y dos puntos $ A_1$ , $ C_1$ en sus lados $ AB$ , $ BC$ , respectivamente. Las líneas $ AC_1$ y $ CA_1$ se encuentran en $ P$ . Asume que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ AA_1P$ y $ CC_1P$ se intersecan en el segundo punto $ Q$ dentro del triángulo $ ACD$ . Demuestra que $ \angle PDA = \angle QBA$ .

En una pizarra hay un polígono regular $A_1A_2\ldots A_{99}.$ Ana y Barbu ocupan alternativamente vértices vacíos del polígono y escriben triángulos en una lista: Ana solo escribe triángulos obtusos, mientras que Barbu solo escribe agudos. En el primer turno, Ana elige tres vértices $X,Y$ y $Z$ y escribe $\triangle XYZ.$ Entonces, Barbu elige dos de $X,Y$ y $Z,$ por ejemplo $X$ e $Y$ , y un vértice no elegido $T$ , y escribe $\triangle XYT.$ El juego continúa y en cada turno, el jugador debe elegir un nuevo vértice $R$ y escribir $\triangle PQR$ , donde $P$ es el último vértice elegido por el otro jugador, y $Q$ es uno de los otros vértices del último triángulo escrito por el otro jugador. Si un jugador no puede realizar un movimiento, entonces el otro gana. Si ambas personas juegan de manera óptima, determina quién tiene una estrategia ganadora.

Determina todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que todos los números reales $x$ e $y$ satisfacen \[f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y.\]