Sea $F$ un subconjunto del conjunto de enteros positivos con al menos dos elementos y $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que para cualquier dos elementos distintos de $F$ como $a$ y $b$ , las siguientes dos condiciones se cumplen $a+b \in F$ , y $\gcd(P(a),P(b))=1$ . Demuestra que $P(x)$ es un polinomio constante.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $AD,BE,CF$ sus alturas. $FA_{1},DB_{1},EC_{1}$ son segmentos perpendiculares a $BC,AC,AB$ respectivamente. Demuestra que : $ABC$ ~ $A_{1}B_{1}C_{1}$

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario. Sean $E,E$ dos puntos en $AB,AC$ respectivamente tal que su distancia al punto medio de $BC$ es igual. Sea $P$ la segunda intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC,AEF$. Las tangentes desde $E,F$ a la circunferencia circunscrita de $AEF$ se intersecan entre sí en $K$. Demuestra que : $\angle KPA = 90$

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario, $P$ es el punto de intersección de la altura desde $C$ y la recta tangente desde $A$ a la circunferencia circunscrita. La bisectriz del ángulo $A$ interseca a $BC$ en $D$. $PD$ interseca a $AB$ en $K$, si $H$ es el ortocentro entonces prueba : $HK\perp AD$

¿Existen infinitos puntos como $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...$ tal que para cualquier secuencia como { $b_1,b_2,...$ } de números reales existe un polinomio $P(x,y)\in R[x,y]$ tal que tenemos para todo $i$ : $P(x_{i},y_{i})=b_{i}$?

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tales que para todo $a,b\in\mathbb{N}$ , $(f(a)+b) f(a+f(b))=(a+f(b))^2$

La sucesión $(a_n)$ está definida como:\n$$a_1=1007$$\n$$a_{i+1}\geq a_i+1$$\nDemuestra la desigualdad:\n$$\frac{1}{2016}>\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{a_{i+1}^{2}+a_{i+2}^2}$$

Consideremos el cuadrilátero $ABCD $ inscrito en el círculo $\omega $ . $P\equiv AC\cap BD$ . $E$ , $F$ se encuentran en los lados $AB$ , $CD$ respectivamente tales que $\hat {APE}=\hat {DPF} $ . Los círculos $\omega_1$ , $\omega_2$ son tangentes a $\omega$ en $X $ , $Y $ respectivamente y también ambos son tangentes al círculo circunscrito de $\triangle PEF $ en $P $ . Demostrar que: $$\frac {EX}{EY}=\frac {FX}{FY} $$

Se dan $2n-1$ números reales positivos distintos con suma $S $ . Demostrar que existen al menos $\binom {2n-2}{n-1}$ formas diferentes de elegir $n $ números entre ellos tales que su suma sea al menos $\frac {S}{2}$ .

Decimos que enteros positivos distintos $a_1,a_2,\ldots ,a_n $ son 'buenos' si su suma es igual a la suma de todos los $\gcd $ 's por pares entre ellos. Demostrar que existen infinitos $n$ s tales que existen $n$ números buenos.