$a_{0}=2,a_{1}=1$ y para $n\geq 1$ sabemos que : $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$ $m$ es un número par y $p$ es un número primo tal que $p$ divide a $a_{m}-2$. Demuestra que $p$ divide a $a_{m+1}-1$.

$I$ es el incentro del triángulo $ABC$. El incírculo de $ABC$ toca $AB,AC$ en $X,Y$. $XI$ interseca al incírculo en $M$. Sea $CM\cap AB=X'$. $L$ es un punto en el segmento $X'C$ tal que $X'L=CM$. Demuestra que $A,L,I$ son colineales si y sólo si $AB=AC$.

Encuentra todas las $f: \mathbb R\longrightarrow\mathbb R$ continuas que para cualquier $x,y$ \[f(x)+f(y)+f(xy)=f(x+y+xy)\]

Encuentra el número natural más pequeño $n$ que satisface la siguiente afirmación: Sea $A$ un subconjunto finito de $\mathbb R^{2}$. Para cada $n$ puntos en $A$ hay dos líneas que incluyen estos $n$ puntos. Todos los puntos se encuentran en dos líneas.

Para $a,b,c$ positivos, \[a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\] Demuestra que $a+b+c \leq3$

Sea A un punto fuera del círculo C, y sean AB y AC las dos tangentes desde A a este círculo C. Sea L una tangente arbitraria a C que corta AB y AC en P y Q. Una línea a través de P paralela a AC corta BC en R. Demuestra que mientras L varía, QR pasa por un punto fijo. :)

Un subconjunto $S$ de $\mathbb N$ es eventualmente lineal si existen $k,N\in\mathbb N$ tal que para $n>N,n\in S\Longleftrightarrow k|n$. Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb N$ que es cerrado bajo la adición. Demuestra que $S$ es eventualmente lineal.

$f,g$ son dos permutaciones del conjunto $X=\{1,\dots,n\}$. Decimos que $f,g$ tienen puntos en común si existe un $k\in X$ tal que $f(k)=g(k)$. a) Si $m>\frac{n}{2}$, demuestra que existen $m$ permutaciones $f_{1},f_{2},\dots,f_{m}$ de $X$ tal que para cada permutación $f\in X$, existe un índice $i$ tal que $f,f_{i}$ tienen puntos en común. b) Demuestra que si $m\leq\frac{n}{2}$, no podemos encontrar permutaciones $f_{1},f_{2},\dots,f_{m}$ que satisfagan la condición anterior.

Tenemos un grafo bipartito $G$ (con partes $X$ y $Y$). Orientamos cada arista arbitrariamente. Hessam elige un vértice en cada turno e invierte la orientación de todas las aristas que tienen a $v$ como uno de sus extremos. Demuestra que con estos pasos podemos llegar a un grafo tal que para cada vértice $v$ en la parte $X$, $\deg^{+}(v)\geq \deg^{-}(v)$ y para cada vértice en la parte $Y$, $\deg^{+}v\leq \deg^{-}v$

En una tabla de $m\times n$ hay un policía en la celda $(1,1)$, y hay un ladrón en la celda $(i,j)$. Un movimiento es ir de una celda a un vecino (cada celda tiene como máximo cuatro vecinos). El ladrón hace el primer movimiento, luego el policía se mueve y ... ¿Para qué $(i,j)$ el policía puede atrapar al ladrón?