Encuentra todas las funciones $ f,g:\mathbb{Q}\longrightarrow\mathbb{Q} $ que verifican las relaciones $$ \left\{\begin{matrix} f(g(x)+g(y))=f(g(x))+y \\ g(f(x)+f(y))=g(f(x))+y\end{matrix}\right. , $$ para todo $ x,y\in\mathbb{Q} . $

Considera un número natural $ n $ para el cual existe un número natural $ k $ y $ k $ primos distintos tales que $ n=p_1\cdot p_2\cdots p_k. $ a) Encuentra el número de funciones $ f:\{ 1, 2,\ldots , n\}\longrightarrow\{ 1,2,\ldots ,n\} $ que tienen la propiedad de que $ f(1)\cdot f(2)\cdots f\left( n \right) $ divide a $ n. $ b) Si $ n=6, $ encuentra el número de funciones $ f:\{ 1, 2,3,4,5,6\}\longrightarrow\{ 1,2,3,4,5,6\} $ que tienen la propiedad de que $ f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdot f(5)\cdot f(6) $ divide a $ 36. $

Encuentra todas las ternas $ (a,b,c) $ de números complejos no nulos que tienen el mismo valor absoluto y que verifican la igualdad: $$ \frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a} =-1 $$

Sean $a,b,c,d \ge 0$ números reales tales que $a+b+c+d=1$ . Demuestra que $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{6}+\frac{(c-d)^2}{6}+\frac{(d-b)^2}{6}} +\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d} \le 2.$

Sea un punto $ P $ en el interior de un triángulo $ ABC. $ Las líneas $ AP,BP,CP $ se encuentran con $ BC,AC, $ respectivamente, $ AB $ en $ A_1,B_1, $ respectivamente, $ C_1. $ Si $$ \mathcal{A}_{PBA_1} +\mathcal{A}_{PCB_1} +\mathcal{A}_{PAC_1} =\frac{1}{2}\mathcal{A}_{ABC} , $$ demuestra que $ P $ está sobre una mediana de $ ABC. $ $ \mathcal{A} $ denota área.

Una función cuadrática tiene la propiedad de que para cualquier intervalo de longitud $ 1, $ la longitud de su imagen es al menos $ 1. $ Demuestra que para cualquier intervalo de longitud $ 2, $ la longitud de su imagen es al menos $ 4. $

Demuestra que entre las raíces cuadradas de los primeros $ 2015 $ números naturales, no podemos elegir una secuencia aritmética compuesta por $ 45 $ elementos.

Un entero positivo se llamará típico si la suma de sus dígitos decimales es un múltiplo de $2011$ . a) Demuestra que hay infinitos números típicos, cada uno con al menos $2011$ múltiplos que también son números típicos. b) ¿Existe un entero positivo tal que cada uno de sus múltiplos sea típico?

Sea $VABC$ una pirámide triangular regular con base $ABC$ , de centro $O$ . Los puntos $I$ y $H$ son el centro de la circunferencia inscrita, respectivamente el ortocentro de $\vartriangle VBC$ . Sabiendo que $AH = 3 OI$ , determina la medida del ángulo entre la arista lateral de la pirámide y el plano de la base.

Sean $a, b, c $ enteros positivos distintos. a) Demuestra que $a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 \ge 9$ . b) si, además, $ab + ac + bc +3 = abc > 0,$ demuestra que $$(a -1)(b -1)+(a -1)(c -1)+(b -1)(c -1) \ge 6.$$