Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Los puntos $M, N, P$ están ubicados en los lados $AC, AB, BC$ , respectivamente, tales que $\angle CBM= \frac{1}{2} \angle AMN = \frac{1}{3} \angle BNP$ y $\angle CMP = 90 ^o$ . a) Muestra que $\vartriangle NMB$ es isósceles. b) Determina $\angle CBM$ .

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ , considere los puntos medios $M$ y $N$ de los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. Si el punto $S$ es variable en el lado $BC$ , demuestre que $$(MB - MS)(NC - NS) \le 0$$

Sean $a$ y $b$ enteros no negativos. Demuestra que el número $a^2 + b^2$ es la diferencia de dos cuadrados perfectos si y solo si $ab$ es par.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos tales que $5$ divide a $2^n + 3^m$ . Demuestra que $5$ divide a $2^m + 3^n$ .

Hay $n$ jugadores, $n\ge 2$ , que están jugando un juego de cartas con $np$ cartas en $p$ rondas. Las cartas están coloreadas en $n$ colores y cada color está etiquetado con los números $1,2,\ldots ,p$ . El juego se somete a las siguientes reglas:\ncada jugador recibe $p$ cartas.\nel jugador que comienza la primera ronda lanza una carta y cada jugador tiene que descartar una carta del mismo color, si tiene una; de lo contrario, puede dar una carta arbitraria.\nel ganador de la ronda es el jugador que ha puesto la carta más grande del mismo color que la primera.\nel ganador de la ronda comienza la siguiente ronda con una carta que selecciona y el juego continúa con las mismas reglas.\nlas cartas jugadas están fuera del juego. Demostrar que si todas las cartas etiquetadas con el número $1$ son ganadoras, entonces $p\ge 2n$ .

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC\not= BC,AB<AC$ y sea $K$ su circunferencia circunscrita. La tangente a $K$ en el punto $A$ interseca a la línea $BC$ en el punto $D$ . Sea $K_1$ el círculo tangente a $K$ y a los segmentos $(AD),(BD)$ . Denotamos por $M$ el punto donde $K_1$ toca a $(BD)$ . Demostrar que $AC=MC$ si y solo si $AM$ es la bisectriz del $\angle DAB$ .

Sean $m,n$ enteros positivos de distintas paridades y tales que $m<n<5m$ . Demostrar que existe una partición con subconjuntos de dos elementos del conjunto $\{ 1,2,3,\ldots ,4mn\}$ tal que la suma de los números en cada conjunto es un cuadrado perfecto.

Después de las elecciones, cada miembro del parlamento (MP), tiene su propia calificación absoluta. Cuando el parlamento se establece, entra en un grupo y obtiene una calificación relativa. La calificación relativa es la relación de su propia calificación absoluta a la suma de todas las calificaciones absolutas de los MPs en el grupo. Un MP puede moverse de un grupo a otro solo si en su nuevo grupo su calificación relativa es mayor. En un día dado, solo un MP puede cambiar el grupo. Demostrar que solo un número finito de movimientos de grupo es posible. (Una calificación es un número real positivo.)

Encontrar el menor número real positivo $r$ con la siguiente propiedad: Cualesquiera que sean cuatro discos considerados, cada uno con centro en los lados de un cuadrado unitario y la suma de sus radios es igual a $r$ , existe un triángulo equilátero que tiene sus bordes en tres de los discos.

Sea $(a_n)_{n\ge 1}$ una sucesión de enteros positivos definida como $a_1,a_2>0$ y $a_{n+1}$ es el menor divisor primo de $a_{n-1}+a_{n}$ , para todo $n\ge 2$ . Demostrar que un número real $x$ cuyos decimales son dígitos de los números $a_1,a_2,\ldots a_n,\ldots $ escritos en orden, es un número racional.