En el cuadrado $ABCD$ consideramos $ E \in (AB)$ , $ F \in (AD)$ y $EF \cap AC = \{P\}$ . Muestra que: a) $\frac{1}{AE} + \frac{1}{AF} = \frac{\sqrt2}{AP}$ b) $AP^2 \le \frac{AE \cdot AF}{2}$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D \in [BC]$ variable. Denotemos por $E, F$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a $AB$, $AC$ respectivamente. a) Demuestra que $$\frac{4S^2}{b^2+c^2}\le DE^2 + DF^2\le max \{h_B^2 + h_C^2 \}.$$ b) Demuestra que, si $D_0 \in [BC]$ es el punto donde se alcanza el mínimo de la suma $DE^2 + DF^2$, entonces $D_0$ es la pierna de la mediana simétrica de $A$ que mira a la bisectriz del ángulo $A$. c) Especifica la posición de $D \in [BC]$ para la cual se alcanza el máximo de la suma $DE^2 + DF^2$. (El área del triángulo $ABC$ se denota por $S$ y $h_b, h_c$ son las longitudes de las altitudes desde $B$ y $C$ respectivamente)

Si $a, b, c$ representan las longitudes de los lados de un triángulo, prueba que: $$\frac{a}{b-a+c}+ \frac{b}{b-a+c}+ \frac{c}{b-a+c} \ge 3$$

Sabiendo que $1 < y < 2$ y $x - y + 1 = 0,$ calcula el valor de la expresión: $$E = \sqrt{4x^2 +4y-3} + 2\sqrt{y^2 - 6x - 2y +10}.$$

Para los números reales $a, b, c, d$, se cumplen las siguientes desigualdades: $$a + b + c \le 3d, \,\,\, b + c + d \le 3a, \,\,\,c + d + a \le 3b, \,\,\,d + a + b\le 3c.$$ Compara los números $a, b, c, d$.

Sea $ABC$ un triángulo y sea su incírculo $\gamma$ toque los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. Sea $P$ un punto estrictamente en el interior de $\gamma.$ Los segmentos $PA,PB,PC$ cruzan $\gamma$ en $A_0,B_0,C_0$ respectivamente. Sean $S_A,S_B,S_C$ los centros de los círculos $PEF,PFD,PDE$ respectivamente y sean $T_A,T_B,T_C$ los centros de los círculos $PB_0C_0,PC_0A_0,PA_0B_0$ respectivamente. Demuestra que $S_AT_A, S_BT_B$ y $S_CT_C$ son concurrentes.

Fija un entero no negativo $a_0$ para definir una secuencia de enteros $a_0,a_1,\ldots$ dejando que $a_k,k\geq 1$ sea el entero más pequeño (estrictamente) mayor que $a_{k-1}$ haciendo que $a_{k-1}+a_k{}$ sea un cuadrado perfecto. Sea $S{}$ el conjunto de enteros positivos no expresables como la diferencia de dos términos de la secuencia $(a_k)_{k\geq 0}.$ Demuestra que $S$ es finito y determina su tamaño en términos de $a_0.$

Un conjunto finito $\mathcal{L}$ de líneas coplanares, de las cuales no hay tres concurrentes, se llama impar si, para cada línea $\ell$ en $\mathcal{L}$ el número total de líneas en $\mathcal{L}$ cruzadas por $\ell$ es impar. Demuestra que cada conjunto finito de líneas coplanares, de las cuales no hay tres concurrentes, se extiende a un conjunto impar de líneas coplanares. Dado un entero positivo $n$ determina el entero no negativo más pequeño $k$ que satisface la siguiente condición: Cada conjunto de $n$ líneas coplanares, de las cuales no hay tres concurrentes, se extiende a un conjunto impar de $n+k$ líneas coplanares.

Considera un número primo $p\geqslant 11$ . Llamamos a una terna $a,b,c$ de números naturales adecuada si dan residuos no nulos y distintos por pares módulo $p{}$ . Además, para cualquier número natural $a,b,c,k$ definimos \[f_k(a,b,c)=a(b-c)^{p-k}+b(c-a)^{p-k}+c(a-b)^{p-k}.\] Demuestra que existen $a,b,c$ adecuados para los cuales $p\mid f_2(a,b,c)$ . Además, para cada terna, demuestra que existe $k\geqslant 3$ para el cual $p\nmid f_k(a,b,c)$ y determina el $k{}$ mínimo con esta propiedad.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ y sea $D{}$ el otro punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle A$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Sean $E{}$ y $F{}$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $AE = AF$ y sea $P{}$ el punto de intersección de $AD$ y $EF$ . Sea $M{}$ el punto medio de $BC{}$ . Demuestra que $AM$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEF$ y $PMD$ pasan por un punto común.